Esercizio su Integrali Multipli
Salve ragazzi avrei un problema con questo esercizio.
Calcolare
$\int_{D} x dxdydz$
dove
$D={(x,y,z)| x>=0; -z<=y<=z; x^2+y^2+z^2>=1; (x^2)/4+y^2+z^2<=1}$
A me quello che da problemi è la seconda condizione $-z<=y<=z$
quindi io prima ho calcolato l'integrale senza tenere conto di questa condizione e dopo di che ho diviso per 4. E' giusto?
In pratica ho integrato per strati dentro la zona di spazio delle ascisse positive compresa fra la sfera di raggio 1 centrata nell'origine e l'ellissoide centrato nell'origine e di vertici in
$A=(2,0,0)$
$B=(0,1,0)$
$C=(0,0,1)$
Considerando che l'area del cerchio è $pi*r^2$
In questo caso l'ellissoide, sezionando con piani $x=k$ ci da i cerchi:
$y^2+z^2 = 1-x^2/4$ essendo il secondo termine il raggio al quadrato
l'area di questi cerchi è $pi*(1-x^2/4)$
mentre la sfera, mi da sul piano $yz$ delle circonferenze dalla seguente equazione:
$y^2+z^2 = 1-x^2$
dove il secondo membro rappresenta il raggio al quadrato tramite il quale calcolo l'area $pi(1-x^2)$.
Dunque integrando per strati da $0
E mi risulta:
$pi\int_{1}^{2} x(1-x^2/4) dx + pi \int_{0}^{1} x(1-x^2/4 -1+x^2) dx = pi/4$
Adesso l'ultima cosa da fare è considerare la condizione:
$-z<=y<=z$
e dunque ho diviso per 4 il risultato dell'integrale.
Risultato: $pi/16$.
E' giusto quest'ultimo passaggio?
Grazie mille per l'attenzione
Calcolare
$\int_{D} x dxdydz$
dove
$D={(x,y,z)| x>=0; -z<=y<=z; x^2+y^2+z^2>=1; (x^2)/4+y^2+z^2<=1}$
A me quello che da problemi è la seconda condizione $-z<=y<=z$
quindi io prima ho calcolato l'integrale senza tenere conto di questa condizione e dopo di che ho diviso per 4. E' giusto?
In pratica ho integrato per strati dentro la zona di spazio delle ascisse positive compresa fra la sfera di raggio 1 centrata nell'origine e l'ellissoide centrato nell'origine e di vertici in
$A=(2,0,0)$
$B=(0,1,0)$
$C=(0,0,1)$
Considerando che l'area del cerchio è $pi*r^2$
In questo caso l'ellissoide, sezionando con piani $x=k$ ci da i cerchi:
$y^2+z^2 = 1-x^2/4$ essendo il secondo termine il raggio al quadrato
l'area di questi cerchi è $pi*(1-x^2/4)$
mentre la sfera, mi da sul piano $yz$ delle circonferenze dalla seguente equazione:
$y^2+z^2 = 1-x^2$
dove il secondo membro rappresenta il raggio al quadrato tramite il quale calcolo l'area $pi(1-x^2)$.
Dunque integrando per strati da $0
E mi risulta:
$pi\int_{1}^{2} x(1-x^2/4) dx + pi \int_{0}^{1} x(1-x^2/4 -1+x^2) dx = pi/4$
Adesso l'ultima cosa da fare è considerare la condizione:
$-z<=y<=z$
e dunque ho diviso per 4 il risultato dell'integrale.
Risultato: $pi/16$.
E' giusto quest'ultimo passaggio?
Grazie mille per l'attenzione
Risposte
Io ho provato anche con le coordinate sferiche ma quel termine in $x^2/4$ fa venire dei calcoli troppo complicati e la seconda condizione fa venire difficile i calcoli con le coordinate cilindriche quindi volevo chiedere che tipo di trasformazione conviene usare in questi casi...
Ehm, oltre a sapere se ho fatto giusto quell'integrale, avrei bisogno di un consiglio su che tipo di trasformazione potrei usare in casi come questo:
Calcolare
$int_{D} 1/(1+z) dz $
dove
$D={x,y,z)|(x^2+y^2-2x+1) (z+1)<=1 , 0<=z<=1}$
che sarebbe l'ultimo esercizio di questo link:
http://digilander.libero.it/claudia.par ... extras.pdf
Grazie mille per l'attenzione
Calcolare
$int_{D} 1/(1+z) dz $
dove
$D={x,y,z)|(x^2+y^2-2x+1) (z+1)<=1 , 0<=z<=1}$
che sarebbe l'ultimo esercizio di questo link:
http://digilander.libero.it/claudia.par ... extras.pdf
Grazie mille per l'attenzione
"Atem":
Salve ragazzi avrei un problema con questo esercizio.
Calcolare
$\int_{D} x dxdydz$
dove
$D={(x,y,z)| x>=0; -z<=y<=z; x^2+y^2+z^2>=1; (x^2)/4+y^2+z^2<=1}$
Riguardo questo integrale proverei a farlo cambiando terna destrorsa e usando $yzx$ invece di $xyz$, cioè questa:
quindi con questa terna le coordinate sferiche diventano:
$\{(y=rho sen phi cos theta),(z=rhosenphisentheta),(x=rhocosphi):}$
Dunque la condizione
$-z<=y<=z$
diventa
$-rhosenphisentheta <= rho sen phi cos theta <= rhosenphisentheta$
Semplificando:
$-sentheta <= cos theta <= sentheta$
e dividendo per $sentheta$ risulta
$-1 <= ctg theta <=1 $
dunque
$pi/4 <= theta <= 3pi/4$
Però quello che non capisco è questo:
tornando a
$-sentheta <= cos theta <= sentheta$
perchè se divido tutto per $cos theta$ invece di $sen theta$ mi risulta diverso?
$-tg theta <= 1 <=tg theta$
Se metto a sistema risulta
$\{(tg theta >= -1),(tg theta >=1):}$
cioè
$tg theta >=1$
da cui
$pi/4<= theta <= pi/2$
Perchè mi vengono 2 risultati diversi?
Edit:
La risposta è:
Perchè quando ho diviso per $costheta$ non ho imposto la condizione sull'angolo e cioè, fermo restando che sono interessato solamente alla zona di spazio $0< theta < pi$ il $coseno$ è positivo solo per $0
dunque alla fine risulta $tg theta <=-1$ cioè $pi/2 < theta < 3/4 pi$ che unito al risultato ottenuto nell'altra zona risulta alla fine $pi/4 < theta < 3*pi/4$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo