Esercizio su Integrale Triplo
Salve a tutti,
avrei bisogno di una mano nel risolvere questo integrale triplo, da come è messo giù sembra molto comodo risolverlo per fili, il problema è che una volta risolto quello più interno in dz, non riesco a mettere giù l'insieme dell'integrale doppio più esterno, poichè mi trovo comunque una regione di \( \Re ^2 \) dipendente da z
ecco il testo:
\( \iiint_{V}^{}z\, dx\, dy\, dz \)
con:
\( V= (x,y,z)\epsilon \Re ^3 : \begin{cases} 2-3 \sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 2-2\sqrt{x^2+y^2}\\ x,y,z\geq 0 \end{cases} \)
avrei bisogno di una mano nel risolvere questo integrale triplo, da come è messo giù sembra molto comodo risolverlo per fili, il problema è che una volta risolto quello più interno in dz, non riesco a mettere giù l'insieme dell'integrale doppio più esterno, poichè mi trovo comunque una regione di \( \Re ^2 \) dipendente da z
ecco il testo:
\( \iiint_{V}^{}z\, dx\, dy\, dz \)
con:
\( V= (x,y,z)\epsilon \Re ^3 : \begin{cases} 2-3 \sqrt{x^2+y^2}\leq z\leq 2-2\sqrt{x^2+y^2}\\ x,y,z\geq 0 \end{cases} \)
Risposte
Io proverei a fare n cambiamento di variabile e passare in coordinate cilindriche: $ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ),( z=z ):} $ ...
Concordo con Pierlu, quell'insieme è chiaramente fatto per le cilindriche. Aggiungo che di default le coordinate cilindriche hanno il seguente dominio: ${(rho in (0,+infty)), (theta in [0,2pi]),(z in RR):}$ (perdonami l'abuso di notazione). Effettuando la sostituzione troverai spesso nuove limitazioni, come in questo caso, ma dovranno sempre essere più restrittive di quelle che ho indicato.
Grazie per le risposte, in ogni caso mi sono spiegato male....io le coordinate cilindriche le ho usate da subito, anche a me è parso ovvio; il problema è come limitare \( \rho \) , dal momento che dopo una prima integrazione in dz ottenngo :
\( \iint_{D}^{}\,\rho \frac{ (4+4\rho^2-4\rho-(4+9\rho^2-6\rho)}{2} d\rho\, d\theta \)
e non riesco a determinare l'insieme D, poichè mi sembra che vari al variare di z, cosa non ho capito dell'integrazione per fili ?!
Grazie in anticipo
\( \iint_{D}^{}\,\rho \frac{ (4+4\rho^2-4\rho-(4+9\rho^2-6\rho)}{2} d\rho\, d\theta \)
e non riesco a determinare l'insieme D, poichè mi sembra che vari al variare di z, cosa non ho capito dell'integrazione per fili ?!
Grazie in anticipo
Poiché devi avere $ z>0 $ puoi solo integrare su $ rhoin(0;1) $ (Il disegno può aiutarti a capire come una condizione su $ z $ ti da le limitazioni su $ rho $ )
@technician
dai un'occhiata anche alla mia risposta,data nel post gemello che hai aperto (perche?)
dai un'occhiata anche alla mia risposta,data nel post gemello che hai aperto (perche?)
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