Esercizio su integrale indefinito

[mroma94]

$ int e^xsin(x) dx $

Sarebbe da risolvere per parti giusto? Ma come?

Grazie dell'aiuto

[mroma94]

$ int sin(x)^2 dx $

$ int ln(x)^2 dx $

Mi servirebbe la risoluzione anche di questi altri due....grazie

[mroma94]

Nessuno mi sa aiutare?

[Brancaleone1]

Ciao mroma94.
Se non posti un tuo tentativo difficilmente qualcuno ti potrà aiutare, se non altro perché agli altri utenti non piace svolgere gli esercizi per te (in più è previsto dal regolamento); al contrario, siamo più che felici di aiutarti a risolverli, ma senza un tuo ragionamento non possiamo farlo

[Zero87]

Ti invito a leggere il regolamento... anche se d'altra parte è notevole che un utente appena iscritto sappia utilizzare la scrittura in formule, notoriamente ostica almeno all'inizio.

Tuttavia, a parte il metodo del bastone e la carota,

"mroma94":$ int sin(x)^2 dx $

puoi pensare a
$sin^2(x)= \frac{1-cos(2x)}{2}$
che rende quell'integrale decisamente più commestibile.

[mroma94]

Ok scusatemi sono nuovo. Nel primo esercizio il problema che ho riscontrato è che integrazione per parti non funziona come negli altri esercizi che ho svolto. Negli altri integrando una o più volte per parti riuscivo a semplificare l'integrale abbastanza da poterlo poi risolvere. Se per esempio mi trovavo il logaritmo, ponevo log(x)=f e ponevo poi f primo=1/x, oppure se mi trovavo un 2x, derivando il 2x lo facevo diventare 2 e il nuovo integrale che mi trovavo a dover risolvere era decisamente più semplice. Qui invece non c'è verso di semplificarlo perchè e^x rimane e^x sia integrandolo che derivandolo, il seno diventa -coseno se lo integro oppure diventa coseno se lo derivo. Il problema è che, dopo aver integrato per parti,mi ritroverei un nuovo integrale sempre con e^x ma con il coseno invece del seno. Potrei integrare nuovamente ma mi ritroverei di nuovo il seno moltiplicato per e^x e sarei di nuovo al punto di partenza, sarebbe una sorta di integrazione per parti senza fine....

Non so se sono riuscito a spiegarmi bene (spero di si) ma non capisco come sia possibile semplificare un integrale del genere attraverso l'integrazione per parti.

Il secondo esercizio lo avevo fato diventare seno per seno ma anche in questo caso integrando per parti avrei ottenuto un nuovo integrale da risolvere, ma questa volta con due coseni...

Il terzo invece non ho proprio capito come muovermi. Avevo pensato di rendere il logaritmo alla seconda come logaritmo per logaritmo, derivando magari il primo e facendolo diventare 1/x ma come potrei integrare il secondo logaritmo?

Insomma in alcuni casi trovo impossibile usare l'integrazione per parti per risolvere questi integrali tuttavia il prof ci ha detto espressamente di risolverli per parti.

Grazie dell'aiuto e del tempo che mi dedicherete

[mroma94]

"Zero87":Ti invito a leggere il regolamento... anche se d'altra parte è notevole che un utente appena iscritto sappia utilizzare la scrittura in formule, notoriamente ostica almeno all'inizio.

Tuttavia, a parte il metodo del bastone e la carota,
[quote="mroma94"]$ int sin(x)^2 dx $

puoi pensare a
$sin^2(x)= \frac{1-cos(2x)}{2}$
che rende quell'integrale decisamente più commestibile.[/quote]

Scusa Potresti spiegarmi in modo un po più dettagliato il procedimento successivo da seguire e soprattutto come hai fatto a far diventare

$ int sin(x)^2 dx $ in $sin^2(x)= \frac{1-cos(2x)}{2}$ ? Grazie ancora e scusatemi se non capisco ma per quanto mi sforzi non capisco proprio niente di queste cose

[Zero87]

"mroma94":$ int sin(x)^2 dx $ in $sin^2(x)= \frac{1-cos(2x)}{2}$ ? Grazie ancora e scusatemi se non capisco ma per quanto mi sforzi non capisco proprio niente di queste cose

Non preoccuparti, più che rimproverarti, diciamo che ti abbiamo dato qualche dritta: converrai anche tu che se qualcuno posta direttamente la soluzione non è detto che la capisci, oltre che non ti rimane granché (ecco anche il perché dei tentativi).

Comunque, è un'identità trigonometrica (la formula di duplicazione del coseno)
$cos(2x)=1-2sin^2 (x)$
riordinata in modo da isolare il seno quadro - in fondo un'identità è un'uguaglianza tra termini, quindi a conti fatti, un'equazione.

[mroma94]

Ah ho capito. Mentre gli altri due secondo te come potrei risolverli?

[Zero87]

"mroma94":$ int e^xsin(x) dx $

Sarebbe da risolvere per parti giusto?

Yes.

In generale, quando c'è da risolvere un'integrale per parti, valgono due regole
- non è detto che basti un unico passaggio (per risolvere questo io ho integrato 2 volte per parti, consiglio $f'(x)=e^x$ in entrambi i casi)
- se non si va da nessuna parte dopo $n$ passaggi, si ricomincia daccapo cambiando $f'(x)$.

Inoltre non è raro che dopo alcuni passaggi ricapita di nuovo l'integrale originale cambiato di segno: in quel caso basta portarlo al primo membro, sommarlo a quello di partenza e vedere che succede: prova!