Esercizio su integrale improprio.

[galles90]

Buonasera,

Nel presente esericizio viene chiesto di determinare il carattere dell'integrale, ma purtroppo non è presente il risultato, per cui vi riporto lo svolgimento. Vi chiedo se sono presenti errori, e nell'eventualità che non ci fossero, è possibile prodecedere in un'altra maniera, cioè in una maniera meno laboriosa ?

Considero il seguente integrale

$int_0^(+infty) (x^2logxarctan(1/x^2))/(sqrt(|x^3-1|))dx.$

1) Dominio della funzione integranda, viene stabilito dalle seguenti condizioni presenti nel sistema
\(\displaystyle S=\begin{cases} x>0, & \mbox{c.e. }\mbox{ funz. logaritimica} \\ x^2\ne 0, & \mbox{c.e. }\mbox{ funz. razionale} \\ |x^3-1| \ge 0, & \mbox{c.e. }\mbox{ funz. radice} \\ \sqrt(|x^3-1|) \ne 0, & \mbox{c.e. }\mbox{ funz. razionale}
\end{cases} \)

svolgendo le relazioni presenti nel sistema $S$, si arriva che il dominio della funzione integranda è $X={x in RR : x>0 vee x ne 1}.$
Dalla determinazione dell'insieme di definizione $X$, si osserva che la funzione presenta tre punti di singolarità, i quali

$x_0=0;x_1=1;x_2=+infty$

inoltre dalla presenza del modulo nel radicando, scompongo l'integrale di partenza come

$int_0^(+infty) (x^2logxarctan(1/x^2))/(sqrt(|x^3-1|))dx=int_0^(1/2)arctan(1/x^2)/(x^(-2)log^(-1)(x)sqrt(1-x^3))dx+int_(1/2)^(1)arctan(1/x^2)/(x^(-2)log^(-1)(x)sqrt(1-x^3))dx+int_1^(+infty)arctan(1/x^2)/(x^(-2)log^(-1)(x)sqrt(x^3-1).$

Posto

$I_1=int_0^(1/2)arctan(1/x^2)/(x^(-2)log^(-1)(x)sqrt(1-x^3))$

si ha per $x to 0^+$

$arctan(1/x^2) = arctan(+infty)=pi/2$

$sqrt(1-x^3)=1$

quindi risulta

$f(x) ~ g(x)=(pi/2)/(x^(-2)log^(-1)(x)) \ qquad mbox{per}\ x to 0^+$

vista la struttura di $g(x)$, cioè l'integrale di $g(x)$ risulta essere un integrale notevole, inoltre, per il criterio del confronto asintotico si ha che l'integrale $I_1$ converge.

Posto

$I_2=int_(1/2)^(1)arctan(1/x^2)/(x^(-2)log^(-1)(x)sqrt(1-x^3))dx$

si ha per $x to 1^-$

$arctan(1/x^2)=K, \ qquad x^(-2)=1$

$log^(-1)(x)=log^(-1)(1+(-(1-x)))~(-(1-x))^(-1)$

$sqrt(1-x^3) ~ (1-x)^(1/2)$

quindi risulta

$f(x)~g(x)=K/((-(1-x))^(-1)((1-x))^(1/2)) \ qquad mbox{per}\ x to 1^- $

p.s. in questo punto pensa che sia l'errore.

Posto

$I_3=int_1^(+infty)arctan(1/x^2)/(x^(-2)log^(-1)(x)sqrt(x^3-1)$

si ha per $x to + infty $

$arctan(1/x^2) ~ 1/(x^2)$

$sqrt(x^3-1) ~x^(1/2)$

quindi risulta

$f(x)~g(x)=1/(log^(-1)(x)x^(1/2)) \ qquad mbox{per} x to + infty$

vista la struttura di $g(x)$, cioè l'integrale di $g(x)$ risulta essere un integrale notevole, inoltre, per il criterio del confronto asintotico si ha che l'integrale $I_3$ converge.

Riscrivendo lo svolgimento mi sono accorto che nell'integrale $I_2$ c'è qualcosa che non va. Quì sono un pò confuso, non saprei come continuare, o meglio, ho qualche idea, tipo determinare gli ordini di infinitesimo e vedere se la loro somma, risulti minore di $1$ e concludere che sia convergente l'integrale $I_2$ e di conseguenza risulta convergente anche l'integrale di partenza visto che risulta la totale convergenza.

Ciao

[gugo82]

Velocemente: in $0$ ed $1$ non ci sono problemi, perché l’integranda si prolunga per continuità; in $+oo$, invece, l’integranda è infinitesima d’ordine inferiore a $3/2$, ma d’ordine superiore ad ogni $0

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[galles90]

Grazie