Esercizio su integrale
Sia [tex]f : \left[ 0,1 \right] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] una funzione convessa, con [tex]f(0) = 0[/tex] e [tex]f(1) = y_{0} \in \mathbb{R}[/tex]. Dimostrare che f è integrabile in [0,1] e che [tex]\int _{0} ^{1} f(x)dx \leq \dfrac{y_{0}}{2}[/tex]
Io ho ragionato così:
Se f è convessa, allora [tex]f''(x) > 0[/tex]. Quindi la funzione è derivabile e continua nel suo dominio, e, di conseguenza, integrabile secondo Riemann.
Per dimostrare la disuguaglianza, invece, ho avuto qualche difficoltà. Ho pensato che la funzione è localmente integrabile in ogni intervallo di [0,1], dal momento che è continua in tutto il suo dominio (ma non sono sicura se sia giusto). Quindi possiamo dire che f è un funzione lipschitziana e vale che [tex]$$|F(x) - F(y)| \leq M|x - y|$$[/tex] con [tex]M \in \mathbb{R}[/tex]. Quindi conoscendo il valore della funzione nei punti estremi del dominio, sapendo che [tex]\int _{0} ^{1} f(x)dx = y_{0}[/tex] (dal teorema fondamentale degli integrali) e scegliendo [tex]M = \dfrac{1}{2}[/tex], si dovrebbe dimostrare il tutto.
Tuttavia questo ragionamento non mi convice più di tanto, pur avendolo fatto io stessa XD Voi che ne pensate?
Grazie.
Io ho ragionato così:
Se f è convessa, allora [tex]f''(x) > 0[/tex]. Quindi la funzione è derivabile e continua nel suo dominio, e, di conseguenza, integrabile secondo Riemann.
Per dimostrare la disuguaglianza, invece, ho avuto qualche difficoltà. Ho pensato che la funzione è localmente integrabile in ogni intervallo di [0,1], dal momento che è continua in tutto il suo dominio (ma non sono sicura se sia giusto). Quindi possiamo dire che f è un funzione lipschitziana e vale che [tex]$$|F(x) - F(y)| \leq M|x - y|$$[/tex] con [tex]M \in \mathbb{R}[/tex]. Quindi conoscendo il valore della funzione nei punti estremi del dominio, sapendo che [tex]\int _{0} ^{1} f(x)dx = y_{0}[/tex] (dal teorema fondamentale degli integrali) e scegliendo [tex]M = \dfrac{1}{2}[/tex], si dovrebbe dimostrare il tutto.
Tuttavia questo ragionamento non mi convice più di tanto, pur avendolo fatto io stessa XD Voi che ne pensate?
Grazie.
Risposte
"m92c":
Se f è convessa, allora [tex]f''(x) > 0[/tex]. Quindi la funzione è derivabile e continua nel suo dominio, e, di conseguenza, integrabile secondo Riemann.
Mi sembra difficile che abbiate usato questa come definizione di funzione convessa, altrimenti sarebbe troppo banale.
Si dimostra che se $f$ convessa è derivabile 2 volte, allora $f ''(x)>0$, ma non è detto che $f$ sia nemmeno derivabile.
Puoi però riuscire a dimostrare che $f$ è continua, quindi integrabile.
"m92c":
sapendo che [tex]\int _{0} ^{1} f(x)dx = y_{0}[/tex] (dal teorema fondamentale degli integrali)
Probabilmente stai confondendo $f$ e la sua primitiva.
"m92c":
Sia [tex]f : \left[ 0,1 \right] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] una funzione convessa, con [tex]f(0) = 0[/tex] e [tex]f(1) = y_{0} \in \mathbb{R}[/tex]. Dimostrare che f è integrabile in [0,1] e che [tex]\int _{0} ^{1} f(x)dx \leq \dfrac{y_{0}}{2}[/tex]
Se la $f$ è convessa, allora (*) :
\[\displaystyle f(x) \le y_0 x \;\;\;,\;\; \;\forall x \in [0,1] \]
Integrando ambo i membri rispetto a $x$ in $[0,1]$ ritrovi la tesi.
(*) $g(x) = y_0 x$ è la retta secante passante per i punti del grafico $(0,0)$ e $(1,y_0)$.
D'accordissimo con Seneca, ovviamente però, prima va dimostrato che la funzione è integrabile, visto anche che è richiesto.
Certamente; avevo visto che ci avevi già pensato tu ad indirizzarla sulla giusta strada.
ok grazie
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