Esercizio su integrale

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Salve, avrei bisogno di nuovo di una mano.

$int int int_T 2z dx dy dx$ dove $T={(x,y,z)|2 sqrt(x^2+y^2)
Allora io per risolverlo avrei pensato di procedere integrando $int int_E (int_(2sqrt(x^2+y^2))^(x+2) 2zdz)dxdy$, dove E sarebbe l'intersezione tra le due superfici che delimitano T. E' corretto? Mi aspetto di no. In tal caso quale può essere una strada?

[pilloeffe]

Ciao _ester_,

A parte che secondo me hai sbagliato a scrivere l'integrale iniziale

"_ester_":$ int int int_T 2x dx dy dx $

che immagino che in realtà sia $\int \int \int_T 2z \text{d}x \text{d}y \text{d}z $ ed anche il successivo

"_ester_":[...] avrei pensato di procedere integrando $ int int_E (int_(2sqrt(x^2+z^2))^(x+2) 2zdz)dxdy$, [...]

che immagino che invece sia $ \int \int_E (int_(2\sqrt(x^2+y^2))^(x+2) 2z \text{d}z)\text{d}x \text{d}y $,

proverei con le coordinate cilindriche, per le quali si ha $|J| = \rho$, $ \text{d}x \text{d}y = \rho \text{d}\rho \text{d}\theta $, $2\rho < z < \rho cos\theta + 2 \implies 2\rho - \rho cos\theta < 2 \implies 0 \le \rho < 2/(2 - cos\theta)$, $\theta \in [0, 2\pi) $

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chiedo scusa per il casino, ora ho corretto. effettivamente la funzione integranda è 2z, e gli estremi sono in funzione di x e y. appena ho tempo studio la soluzione delle coordinate cilindriche e vedo se mi trovo. grazie della disponibilità.

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le coordinate cilindriche funzionano, ma viene fuori un integrale così
$int_0^(2pi) 1/4(2/(2-costheta))^4cos^2theta- (2/(2-costheta))^4+4 (2/(2-costheta))^2costheta+4 (2/(2-costheta))d theta$
e nessuno degli addendi mi sembra molto approcciabile, tranne l'ultimo (?)

[Mephlip]

Hai provato con le formule parametriche?

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Per quanto riguarda questo,

"_ester_":
$int_0^(2pi) 1/4(2/(2-costheta))^4cos^2theta- (2/(2-costheta))^4+4 (2/(2-costheta))^2costheta+4 (2/(2-costheta))d theta$

l'ultimo addendo l'ho risolto proprio con le sostituzioni parametriche; solo che applicarle anche agli altri pezzi, dove compaiono anche potenze e prodotti, mi era sembrato piuttosto complesso. Intendevi questo?

[pilloeffe]

"_ester_":e nessuno degli addendi mi sembra molto approcciabile, tranne l'ultimo (?)

Con la sostituzione parametrica $t := tan(\theta/2) $ che ti ha già suggerito Mephlip e tenendo i $4$ integrali che hai ottenuto (può darsi che sia un po' più semplice fare il denominatore comune... ) mi risulta nel modo seguente:

$\int_0^(2\pi) [1/4(2/(2-cos\theta))^4cos^2\theta- (2/(2-cos\theta))^4+4 (2/(2-cos\theta))^2cos\theta+4 (2/(2-cos\theta))]\text{d}\theta = $
$= 16 \int_0^(2\pi) [(1/4 cos^2\theta)/(2-cos\theta)^4 - 1/(2-cos\theta)^4+ (cos\theta)/(2-cos\theta)^2+ (1/2)/(2-cos\theta)]\text{d}\theta = $
$ = 16[(4 \pi)/(27 \sqrt(3)) - (22 \pi)/(27 \sqrt(3)) + (2 \pi)/(3 \sqrt(3)) + (\pi)/(\sqrt(3))] = 16[(4\pi - 22 \pi + 18\pi + 27 \pi)/(27 \sqrt(3))] = (16 \pi)/(\sqrt(3)) $

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Grazie mille!