Esercizio su integrabilità/sommabilità secondo Lebesgue di una successione di funzioni

[poll89]

Ciao a tutti, ecco l'esercizio di cui parlo in titolo.

Al variare del parametro $alpha in RR$ e dell'intervallo reale I, discutere esistenza e convergenza in $L(I)$ della successione di funzioni reali ${f_n ^alpha}$, dove $f_n ^alpha (x) = n^alpha e^(-n(x-n)^4) text( con ) x in RR, n in NN$

Nel caso la notazione non vi fosse familiare qui c'è una piccola spiegazione:

$L(I)$ sta per $L^1 (I)$, che indica lo spazio delle funzioni reali di variabile reale sommabili in I, quozientato rispetto alla relazione "uguali quasi ovunque". Per funzione sommabile si intende una funzione della quale esista finito $int_E f(x) dx$, definito come $int_E f(x) dx = int_E f^(+)(x) dx + int_E f^(-) (x)dx$; si chiede quindi che entrambi gli integrali al secondo membro esistano finiti. Se invece solo uno dei due fosse finito la funzione si direbbe integrabile.

Ora, passando alla risoluzione: la parte dell'esistenza chiede di indicare per quali $I sube RR$ e $alpha in RR$ reali il generico membro della successione sia sommabile. $f_n ^alpha (x)$ ha come dominio $RR$, è positiva $ AA n in NN, AA x in RR$ dato che è prodotto di termini sempre positivi, ed infine è continua e dunque misurabile. Ciò implica che sia integrabile e che sarà sommabile su I se $int_(I=(a,b) sube RR) n^alpha e^(-n(x-n)^4) < +infty$.
E qui c'è il problema. Temo che quell'integrale non sia calcolabile esplicitamente (wolfram lo risolve usando la funzione gamma incompleta, ovvero un ospite che preferirei non invitare in questo genere di problemi). Cosa faccio allora? Cerco una maggiorazione sommabile di $f_n ^alpha (x)$? Faccio considerazioni sulla funzione che permettano di dedurre la finitezza dell'integrale? Uso il voodoo? Attendo con ansia qualche suggerimento, anche sulla seconda parte.

[dissonance]

Sei certamente in grado di dimostrare che \[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^4}\, dx\]
converge. E allora sei in grado anche di rispondere alla domanda.

[poll89]

Giusto, mi basta dire che $ int_(I=(a,b) sube RR) n^alpha e^(-n(x-n)^4) dx = n^alpha (int_(0)^(+infty) e^(-n(x-n)^4) dx + int_(-infty)^(0) e^(-n(x-n)^4) dx)$, dopodichè osservo che l'integranda è sempre positiva ed è dominata all'infinito, ad esempio, da $1/x^4$, dato che $lim_(x->+-infty) (1/exp(x^4))/(1/x^4) = lim_(x->+-infty) x^4/(exp(x^4)) = 0$, quindi alla fine tutto converge (credo che qui si possano usare gli O-grandi, sui quali avemmo una discussione, mi sbaglio?). Comunque grazie per la dritta

Parlando della convergenza in L(I) mi spunta un altro problema. A me sembra che la successione converga puntualmente alla funzione nulla, quali che siano $alpha$ ed $I$. Va bene che così tutto torna banalmente, però...

[poll89]

up

[_fabricius_1]

Concordo sulla convergenza a $0$, ma poi come concludi?