Esercizio su insiemi e funzioni biiettive
buongiorno,
l'esercizio che non riesco a risolvere è questo? mi date una mano per favore?
siano A, B, C, D quattro insiemi e f, g, h tre funzioni tali che
A $\rightarrow$ B $\rightarrow$ C $\rightarrow$ D (non sono riuscita a scrivere f, g, h risettivamente sulla prima, seconda e terza freccia)
Dimostrate la seguente affermazione:
se g$\circ$f:A $\rightarrow$C e h$\circ$g:B $\rightarrow$ D sono entrambe biiettive allora le tre funzioni f, g, h sono tutte e tre biiettive.
ho provato utilizzando la definizione di funzione biiettiva ma non mi ha portato a niente, e nemmeno il fatto che una funzione biiettiva abbia un'inversa mi ha aiutato...
grazie a chiunque mi risponda
l'esercizio che non riesco a risolvere è questo? mi date una mano per favore?
siano A, B, C, D quattro insiemi e f, g, h tre funzioni tali che
A $\rightarrow$ B $\rightarrow$ C $\rightarrow$ D (non sono riuscita a scrivere f, g, h risettivamente sulla prima, seconda e terza freccia)
Dimostrate la seguente affermazione:
se g$\circ$f:A $\rightarrow$C e h$\circ$g:B $\rightarrow$ D sono entrambe biiettive allora le tre funzioni f, g, h sono tutte e tre biiettive.
ho provato utilizzando la definizione di funzione biiettiva ma non mi ha portato a niente, e nemmeno il fatto che una funzione biiettiva abbia un'inversa mi ha aiutato...
grazie a chiunque mi risponda
Risposte
Non usare le formule solo per i simboli. Esistono pacchetti migliori per scrivere quello che volevi scrivere ma il modo più semplice è il seguente:
\[A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} D\]
Il problema quindi è il seguente:
Sia \(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} D\). Dimostrare che se \(g\circ f\) e \(h\circ g\) sono biiettive allora anche \(f\), \(g\) e \(h\) lo sono.
Se \(g\circ f\) è biettiva, cosa puoi dire su \(f\) e \(g\)? Sono iniettive? Suriettive? Quando hai finito fai lo stesso per \(h\circ g\) e metti insieme i pezzi.
\(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} D\) e questo è il risultato:\[A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} D\]
Il problema quindi è il seguente:
Sia \(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} D\). Dimostrare che se \(g\circ f\) e \(h\circ g\) sono biiettive allora anche \(f\), \(g\) e \(h\) lo sono.
Se \(g\circ f\) è biettiva, cosa puoi dire su \(f\) e \(g\)? Sono iniettive? Suriettive? Quando hai finito fai lo stesso per \(h\circ g\) e metti insieme i pezzi.
grazie per il consigio sulle formule, avevo provato a scrivere così ma non mi veniva.
so che la composizione di due funzioni biettive è biettiva, ma vale l'inverso? cioè se la composizione è biettiva allora le funzioni sono biettive?
so che la composizione di due funzioni biettive è biettiva, ma vale l'inverso? cioè se la composizione è biettiva allora le funzioni sono biettive?
No, non vale. Considera, per esempio, le funzioni \(f\colon \{1\}\to \mathbb{N}\) e \(g\colon \mathbb{N}\to\{1\}\) definite come \(f\colon 1\mapsto 2\) e \(g\colon n\mapsto 1\). La funzione \(g\colon f\) è l'identità di \(\{1\}\), ma le due funzioni non sono biettive. D'altra parte hanno altre caratteristiche... Fai delle ipotesi e prova a dimostrarle per il caso generale.
"vict85":
No, non vale. Considera, per esempio, le funzioni \(f\colon \{1\}\to \mathbb{N}\) e \(g\colon \mathbb{N}\to\{1\}\) definite come \(f\colon 1\mapsto 2\) e \(g\colon n\mapsto 1\). La funzione \(g\colon f\) è l'identità di \(\{1\}\), ma le due funzioni non sono biettive. D'altra parte hanno altre caratteristiche... Fai delle ipotesi e prova a dimostrarle per il caso generale.
posso dire che:
- \( f\) è iniettiva
- \( g\) è surriettiva
e questo lo dimostrerei partendo dal fatto che \(g\colon f\) è biettiva e dalle definizioni di iniettività e surriettività.
probabilmente ci sono altre caratteristiche, per ora non le vedo, ci penso...
È quello a cui mi riferivo. La dimostrazione di questo fatto dovrebbe essere però esplicitata meglio.
Ritornando al tuo problema iniziale, utilizzando quello che hai detto sai che \(g\) è sia iniettiva che suriettiva. Cosa ne deduci? Riesci ora a vedere come puoi dimostrare l'intero risultato?
Ritornando al tuo problema iniziale, utilizzando quello che hai detto sai che \(g\) è sia iniettiva che suriettiva. Cosa ne deduci? Riesci ora a vedere come puoi dimostrare l'intero risultato?
ho capito!
posso dimostare che
-avendo \(f\colon g\) biettiva e \(g\) iniettiva allora \(f\) è surriettiva
-avendo \(f\colon g\) biettiva e \(g\) surriettiva allora \(h\) è iniettiva
ho così dimostrato che \(f\ , g\ , h\) sono sia surriettive che iniettive e quindi biettive.
giusto?
spero di non aver fatto confusione
posso dimostare che
-avendo \(f\colon g\) biettiva e \(g\) iniettiva allora \(f\) è surriettiva
-avendo \(f\colon g\) biettiva e \(g\) surriettiva allora \(h\) è iniettiva
ho così dimostrato che \(f\ , g\ , h\) sono sia surriettive che iniettive e quindi biettive.
giusto?
spero di non aver fatto confusione
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo