Esercizio su insiemi compatti

[Obionekenobi1]

Non riesco a capire perchè l'insieme descritto dalla funzione f(x,y)=x^2+y^2+2x+1 sottoposto al vincolo y^2-x^3=0 è un insieme non compatto. La f(x,y) descrive una circonferenza, ma come faccio a imporre il vincolo. Grazie a chiunque voglia darmi una qualche indicazione.

[gugo82]

Com'è fatto il vincolo? In particolare, è limitato?
Com'è la [tex]$f(x,y)$[/tex]? In particolare, è limitata?

Comincia a rispondere a queste domande, poi il resto viene da sé.

[Obionekenobi1]

L f(x,y) è una circonferenza e perciò è chiusa e limitata, quindi è un compatto. Ma intersecata col vincolo da il punti (0,0) e basta al più un altro punto e quindi l'insieme risultante è certamente non limitato, e quindi non compatto. E' giusto?

[gugo82]

"Obionekenobi":L f(x,y) è una circonferenza e perciò è chiusa e limitata, quindi è un compatto.

La [tex]$f(x,y)$[/tex] è una funzione, non un oggetto geometrico.

Ragiona prima di postare...

[Obionekenobi1]

E' vero hai ragione, ma il suo polinomio associato ha come grafico una circonferenza. Ma per il resto il ragionamento va bene?

[Steven11]

"Obionekenobi":E' vero hai ragione, ma il suo polinomio associato ha come grafico una circonferenza. Ma per il resto il ragionamento va bene?

Il luogo dei punti tali che $f(x,y)=0$ è una circonferenza, ma questo non ha nulla a che vedere con l'insieme che devi considerare per l'esercizio.

Ti consiglierei di ricordare che i compatti sono chiusi e limitati (non a caso, gugo82 prima ti ha chiesto di osservare la (il)limitatezza).

[gugo82]

"Obionekenobi":E' vero hai ragione, ma il suo polinomio associato ha come grafico una circonferenza. Ma per il resto il ragionamento va bene?

No che non va bene.

Faccio un esempio unidimensionale, così capisci l'erroraccio: la funzione $f(x)=x$ è una retta nel piano; il vincolo $x>-3$ è una semiretta sull'asse delle ascisse; il vincolo e la retta si incontrano in $0$, quindi $0$ è il massimo di $f$ sul vincolo.
Non credi ci sia qualcosa che no va?