Esercizio su Inf e Sup
Ciao a tutti, In preparazione all'esame di analisi, e guardando i testi precedenti, mi sono ritrovato un esercizio del genere:
Le soluzioni sono:
1] $ 0 < α ≤ 2 −√2 vv α ≥ 2 + √2 $
2] $ 2 −√2 ≤ α ≤ 2 + √2 $
Io personalmente ho provato a ragionare così: Per la prima richiesta devo fare in modo che l'elemento più piccolo sia maggiore di 0, quindi guardo quale è l'unico dei prodotti che può annullarsi (in questo caso $ (1-cos(1/(n^2alpha))) $) e faccio sì che non si annulli, quindi pongo il coseno diverso da 1. Ciò mi dice che l'argomento del coseno deve essere diverso da 0 +2k $ pi $ , ma il risultato che trovo io è ben diverso da quello che da l'esercizio.
Anche con la seconda richiesta ragionerei allo stesso modo, ma non riesco comunque ad arrivare al risultato.
Detto ciò, sono sicuro di stare ragionando in modo sbagliato, ma non ho proprio idea di come fare diversamente.
Grazie mille a chiunque avrà la pazienza di spiegarmi come fare!
Si consideri l'insieme $ A sub R $ dipendente dal parametro positivo $ alpha $, definito da:
A = { $ n^(alpha^2+4)*(1-cos(1/(n^2alpha)))*(e^(1/n^2)-1) $ con n Naturale non nullo }.
Stabilire per quali valori di $ alpha $ si ha:
1) inf(A) > 0
2) Sup(A) < + $ oo $
Le soluzioni sono:
1] $ 0 < α ≤ 2 −√2 vv α ≥ 2 + √2 $
2] $ 2 −√2 ≤ α ≤ 2 + √2 $
Io personalmente ho provato a ragionare così: Per la prima richiesta devo fare in modo che l'elemento più piccolo sia maggiore di 0, quindi guardo quale è l'unico dei prodotti che può annullarsi (in questo caso $ (1-cos(1/(n^2alpha))) $) e faccio sì che non si annulli, quindi pongo il coseno diverso da 1. Ciò mi dice che l'argomento del coseno deve essere diverso da 0 +2k $ pi $ , ma il risultato che trovo io è ben diverso da quello che da l'esercizio.
Anche con la seconda richiesta ragionerei allo stesso modo, ma non riesco comunque ad arrivare al risultato.
Detto ciò, sono sicuro di stare ragionando in modo sbagliato, ma non ho proprio idea di come fare diversamente.
Grazie mille a chiunque avrà la pazienza di spiegarmi come fare!
Risposte
So, che non è buona educazione uppare un messaggio dopo così poco tempo, ma non vorrei che poi tutte le nuove discussioni nascondessero completamente la mia richiesta 
Nessuno riesce a darmi una mano?
Nessuno riesce a darmi una mano?
Ciao, provo a risponderti
Per $n$ molto grande, gli elementi $A$ si comportano come $\frac{n^(\alpha^2-2)}{\alpha^2}$. Quindi affinché sup(A) sia finito, porrei $\apha^2-2<=0$, cioè $\alpha>=sqrt(2)$. Ora mi dirai perché ti ho risposto questo: l'ho fatto perché se fosse $n^(2\alpha)$ mi troverei con i tuoi risultati
Per il primo punto, non dovrebbe esser sempre vero che inf(A)>0 visto che i termini di $A$ sono tutti positivi?
Per $n$ molto grande, gli elementi $A$ si comportano come $\frac{n^(\alpha^2-2)}{\alpha^2}$. Quindi affinché sup(A) sia finito, porrei $\apha^2-2<=0$, cioè $\alpha>=sqrt(2)$. Ora mi dirai perché ti ho risposto questo: l'ho fatto perché se fosse $n^(2\alpha)$ mi troverei con i tuoi risultati
Per il primo punto, non dovrebbe esser sempre vero che inf(A)>0 visto che i termini di $A$ sono tutti positivi?
Anche a me risulta che per $n$ grande gli elementi di $A$ si comportano come \( \frac{n^{\alpha^2-2}}{2\alpha^2} \). Quindi:
Se \( \alpha= \sqrt{2} \) allora il limite è finito e positivo e dunque il \( \sup \) è finito e l' \( \inf \) è positivo.
Se \( \alpha > \sqrt{2} \) allora il limite è infinito e dunque il \( \sup \) è infinito e l' \( \inf \) è positivo.
Se \( 0 < \alpha < \sqrt{2} \) allora il limite è $0$ e dunque il \( \sup \) è finito e l' \( \inf \) è $0$.
@Cantor99
Non ho capito la storia del "se fosse $n^{2\alpha}$ ". Inoltre non è vero che se tutti gli elementi di un insieme sono positivi allora l' \( \inf \) è positivo. Banalmente
\[ A = \biggl \{ \frac{1}{n+1} \, | \, n \in \mathbb{N} \biggr \} \]
ogni elemento di $A$ è positivo ma \( \inf(A) =0 \).
Se \( \alpha= \sqrt{2} \) allora il limite è finito e positivo e dunque il \( \sup \) è finito e l' \( \inf \) è positivo.
Se \( \alpha > \sqrt{2} \) allora il limite è infinito e dunque il \( \sup \) è infinito e l' \( \inf \) è positivo.
Se \( 0 < \alpha < \sqrt{2} \) allora il limite è $0$ e dunque il \( \sup \) è finito e l' \( \inf \) è $0$.
@Cantor99
Non ho capito la storia del "se fosse $n^{2\alpha}$ ". Inoltre non è vero che se tutti gli elementi di un insieme sono positivi allora l' \( \inf \) è positivo. Banalmente
\[ A = \biggl \{ \frac{1}{n+1} \, | \, n \in \mathbb{N} \biggr \} \]
ogni elemento di $A$ è positivo ma \( \inf(A) =0 \).
Ciao Bremen000
Mi scuso con l'utente per le mie considerazione scellerate!
Inoltre ho scritto per distrazione $\alpha^2-2<0 =>\alpha>sqrt(2)$ in luogo di $0<\alpha
Con "se fosse $n^(\2alpha)$" intendevo dire la disequazione sarebbe diventata $\alpha^2-4\alpha+2<0 $ e si sarebbe avuto $ 2-sqrt(2)< alpha<2+sqrt(2)$ (cioè sarebbero usciti i risultati dell'utente, anche se non mi trovo)
Per l'inf hai più che ragione
Spero di non aver fatto altri errori e ti ringazio Bremen000
Mi scuso con l'utente per le mie considerazione scellerate!
Inoltre ho scritto per distrazione $\alpha^2-2<0 =>\alpha>sqrt(2)$ in luogo di $0<\alpha
Con "se fosse $n^(\2alpha)$" intendevo dire la disequazione sarebbe diventata $\alpha^2-4\alpha+2<0 $ e si sarebbe avuto $ 2-sqrt(2)< alpha<2+sqrt(2)$ (cioè sarebbero usciti i risultati dell'utente, anche se non mi trovo)
Per l'inf hai più che ragione
Spero di non aver fatto altri errori e ti ringazio Bremen000
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