Esercizio su grafici norme
Per $(x,y) \in \mathbb{R]^2$ siano definite le norme
$||(x,y)||_2=\sqrt{x^2+y^2}$
$||(x,y)||_1=|x|+|y|$
$||(x,y)||_{\infty}=max {|x|,|y|}$
Per $\alpha={1,2, \infty}$, detta $d_{\alpha}$ la distanza indotta dalla norma $||\cdot||_{alpha}$, rappresentare graficamente l'insieme $$A={(x,y): d_{\alpha}((0,0),(3,1))=d_{\alpha}((0,0),(x,y))+d_{\alpha}((x,y),(3,1))}$$
Come imposto questo esercizio?
$||(x,y)||_2=\sqrt{x^2+y^2}$
$||(x,y)||_1=|x|+|y|$
$||(x,y)||_{\infty}=max {|x|,|y|}$
Per $\alpha={1,2, \infty}$, detta $d_{\alpha}$ la distanza indotta dalla norma $||\cdot||_{alpha}$, rappresentare graficamente l'insieme $$A={(x,y): d_{\alpha}((0,0),(3,1))=d_{\alpha}((0,0),(x,y))+d_{\alpha}((x,y),(3,1))}$$
Come imposto questo esercizio?
Risposte
Per $\alpha=1$ per esempio hai
$d_1( ((0),(0)) \quad ,\quad ((3),(1)))=||(3),(1)||_1 =|3|+|1|=4$
$d_1( ((0),(0)) \quad ,\quad ((x),(y)))=||(x),(y)||_1 =|x|+|y|$
$d_1( ((3),(1)) \quad ,\quad ((x),(y)))=||(x-3),(y-1)||_1 =|x-3|+|y-1|$
e dunque
$A_1 = \{ (x,y) \in RR^2 : |x|+|y|+|x-3|+|y-1|=4 \}$
e a seconda dei valori di $x$ e di $y$ l'espressione di $A_1$ varia, per esempio per la zona del piano dove $x>=3 \wedge y>=1$ hai che $A_1$ è dato da $ \{ (x,y) \in RR^2 : x+y =4\}$ che è una retta facile da disegnare. Così negli altri casi. E' lungo ma non complicato.
$d_1( ((0),(0)) \quad ,\quad ((3),(1)))=||(3),(1)||_1 =|3|+|1|=4$
$d_1( ((0),(0)) \quad ,\quad ((x),(y)))=||(x),(y)||_1 =|x|+|y|$
$d_1( ((3),(1)) \quad ,\quad ((x),(y)))=||(x-3),(y-1)||_1 =|x-3|+|y-1|$
e dunque
$A_1 = \{ (x,y) \in RR^2 : |x|+|y|+|x-3|+|y-1|=4 \}$
e a seconda dei valori di $x$ e di $y$ l'espressione di $A_1$ varia, per esempio per la zona del piano dove $x>=3 \wedge y>=1$ hai che $A_1$ è dato da $ \{ (x,y) \in RR^2 : x+y =4\}$ che è una retta facile da disegnare. Così negli altri casi. E' lungo ma non complicato.
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