Esercizio su funzione L-misurabile
Il testo è il seguente:
"Sia \(\displaystyle f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) una funzione misurabile secondo Lebesgue, e si consideri la funzione \(\displaystyle \phi (x) = \lambda (\{t:f(t)>x\}) \).
Mostrare che \(\displaystyle \phi \) è continua da destra, ma, in generale, non da sinistra."
(i) Per la continuità da sinistra, basta mostrare un controesempio.
Io ho preso una funzione costante su un intervallo \(\displaystyle I \) a misura di Lebesgue positiva, \(\displaystyle \lambda(I) = l \), con valore pari a \(\displaystyle x_0 \). Così, in prossimità di \(\displaystyle x_0 \) la funzione \(\displaystyle \phi \) presenta una discontinuità di tipo salto, in cui \(\displaystyle \phi(x_0^{+} ) - \phi(x_0^{-} ) = l \), cioè \(\displaystyle \phi \) non è continua da sinistra in \(\displaystyle x_0 \).
(ii) Per quanto riguarda la continuità da destra, bisogna dimostrare che \(\displaystyle \forall x_0 \in \mathbb{R}, \forall \varepsilon >0, \exists \delta = \delta(\varepsilon, x_0) \) t.c. se \(\displaystyle 0
Grazie per l'attenzione,
Ciao
"Sia \(\displaystyle f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) una funzione misurabile secondo Lebesgue, e si consideri la funzione \(\displaystyle \phi (x) = \lambda (\{t:f(t)>x\}) \).
Mostrare che \(\displaystyle \phi \) è continua da destra, ma, in generale, non da sinistra."
(i) Per la continuità da sinistra, basta mostrare un controesempio.
Io ho preso una funzione costante su un intervallo \(\displaystyle I \) a misura di Lebesgue positiva, \(\displaystyle \lambda(I) = l \), con valore pari a \(\displaystyle x_0 \). Così, in prossimità di \(\displaystyle x_0 \) la funzione \(\displaystyle \phi \) presenta una discontinuità di tipo salto, in cui \(\displaystyle \phi(x_0^{+} ) - \phi(x_0^{-} ) = l \), cioè \(\displaystyle \phi \) non è continua da sinistra in \(\displaystyle x_0 \).
(ii) Per quanto riguarda la continuità da destra, bisogna dimostrare che \(\displaystyle \forall x_0 \in \mathbb{R}, \forall \varepsilon >0, \exists \delta = \delta(\varepsilon, x_0) \) t.c. se \(\displaystyle 0
Grazie per l'attenzione,
Ciao
Risposte
Equivalentemente puoi mostrare che per ogni punto $x_0 \in \mathbb{R}$ e per ogni successione reale $x_n \to x_0^+$ (dall'alto) si ha $\phi(x_n) \to \phi(x_0)$ per $n \to \infty$.
Sia $x_n$ una successione reale tale che $x_n \to x_0^+$ (dall'alto). Allora
\[ \lim_{n \to \infty} \phi(x_n) = \lim_{n \to \infty} \lambda \{ t : f(t) > x_n\} = \lambda \left ( \bigcup_{n = 1}^\infty \{ t : f(t) > x_n \} \right ) = \lambda ( f(t) > x_0 ) = \phi(x_0)\]
Sia $x_n$ una successione reale tale che $x_n \to x_0^+$ (dall'alto). Allora
\[ \lim_{n \to \infty} \phi(x_n) = \lim_{n \to \infty} \lambda \{ t : f(t) > x_n\} = \lambda \left ( \bigcup_{n = 1}^\infty \{ t : f(t) > x_n \} \right ) = \lambda ( f(t) > x_0 ) = \phi(x_0)\]
Grazie mille, @Seneca !
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