Esercizio su funzione iniettiva suriettiva o biettiva su $N$
Salve a tutti, ho provato a risolvere un po' di esercizi dove mi viene chiesto di dire se le funzioni sono iniettive, suriettive o biettive.
Ecco la funzione
$f(n)={ ( \frac{n}{2}+1 \ se \ n \ è \ pari),( n-1 \ se \ n \ è \ dispari):}$
Studio l'iniettività.
dalla definizione so che una funzione $ f: A ->B $ è iniettiva se $ \forallx \in A \ f(x)=f(y) \Rightarrow x=y $ oppure nella sua forma contronominale $ \forallx \in A \ x \ne y \Rightarrow \ f(x) \ne f(y) $
Se $n, m $ sono entrambi $pari$ si ha:
$\frac{n}{2}+1=\frac{m}{2}+1 \Leftrightarrow \frac{n}{2}=\frac{m}{2} \Leftrightarrow \frac{n}{2}-\frac{m}{2}=0 \Leftrightarrow \frac{n-m}{2}=0 \Leftrightarrow n-m=0 \Leftrightarrow n=m$ quindi la funzione è iniettiva.
Se $n, m$ sono entrambi $dispari$ si ha:
$n-1=m-1 \Leftrightarrow n=m$ e quindi la funzione è iniettiva
Se $n$ è $pari$ e $m$ è $dispari$ si ha:
$\frac{n}{2}+1=m-1 \Leftrightarrow \frac{n}{2}-m+2=0 \Leftrightarrow \frac{n-2m+4}{2}=0 \Leftrightarrow n-2m+4=0 $ quindi $n \ne 2m-4$ quindi ho la contronominale della definizione di iniettività, ovver $n \ne m \Rightarrow f(n) \ne f(m)$ e quindi anche in questo caso la funzione è iniettiva.
Quindi la funzione è iniettiva.
Studio la suriettività.
Dalla definizione di funzione suriettiva so che: fissato un $m\inN$ $\exists$ almeno un $n \in N$ t.c. $f(n)=m$
Considero l'equazione $\frac{n}{2}+1=m$ e qui $n$ deve essere pari, quindi $n=2k$ e ottengo $f(2k)=\frac{2k}{2}+1=k+1$ che genera tutti i numeri $\geq 1$.
Per n dispari considero l'equazione $n-1=m$ e $n$ deve essere $2k+1$ in quanto è dispari, quindi ottengo $f(2k+1)=2k+1-1=2k$ che genera lo $0$ e tutti i numeri pari.
La funzione è quindi suriettiva e essendo anche iniettiva allora è biettiva.
Potreste diirmi se ho fatto bene? Grazie mille a tutti..
Ecco la funzione
$f(n)={ ( \frac{n}{2}+1 \ se \ n \ è \ pari),( n-1 \ se \ n \ è \ dispari):}$
Studio l'iniettività.
dalla definizione so che una funzione $ f: A ->B $ è iniettiva se $ \forallx \in A \ f(x)=f(y) \Rightarrow x=y $ oppure nella sua forma contronominale $ \forallx \in A \ x \ne y \Rightarrow \ f(x) \ne f(y) $
Se $n, m $ sono entrambi $pari$ si ha:
$\frac{n}{2}+1=\frac{m}{2}+1 \Leftrightarrow \frac{n}{2}=\frac{m}{2} \Leftrightarrow \frac{n}{2}-\frac{m}{2}=0 \Leftrightarrow \frac{n-m}{2}=0 \Leftrightarrow n-m=0 \Leftrightarrow n=m$ quindi la funzione è iniettiva.
Se $n, m$ sono entrambi $dispari$ si ha:
$n-1=m-1 \Leftrightarrow n=m$ e quindi la funzione è iniettiva
Se $n$ è $pari$ e $m$ è $dispari$ si ha:
$\frac{n}{2}+1=m-1 \Leftrightarrow \frac{n}{2}-m+2=0 \Leftrightarrow \frac{n-2m+4}{2}=0 \Leftrightarrow n-2m+4=0 $ quindi $n \ne 2m-4$ quindi ho la contronominale della definizione di iniettività, ovver $n \ne m \Rightarrow f(n) \ne f(m)$ e quindi anche in questo caso la funzione è iniettiva.
Quindi la funzione è iniettiva.
Studio la suriettività.
Dalla definizione di funzione suriettiva so che: fissato un $m\inN$ $\exists$ almeno un $n \in N$ t.c. $f(n)=m$
Considero l'equazione $\frac{n}{2}+1=m$ e qui $n$ deve essere pari, quindi $n=2k$ e ottengo $f(2k)=\frac{2k}{2}+1=k+1$ che genera tutti i numeri $\geq 1$.
Per n dispari considero l'equazione $n-1=m$ e $n$ deve essere $2k+1$ in quanto è dispari, quindi ottengo $f(2k+1)=2k+1-1=2k$ che genera lo $0$ e tutti i numeri pari.
La funzione è quindi suriettiva e essendo anche iniettiva allora è biettiva.
Potreste diirmi se ho fatto bene? Grazie mille a tutti..
Risposte
Non ho letto la tua spiegazione, però :
se $n=2 $ e quindi pari ottengo $f(2)=2 $
se $ n=3 $ e quindi dispari ottengo $f(3)= 2$.
Il valore $2 $ lo ottengo con due valori di $n $ cioè $ 2 $ e $3$.
se $n=2 $ e quindi pari ottengo $f(2)=2 $
se $ n=3 $ e quindi dispari ottengo $f(3)= 2$.
Il valore $2 $ lo ottengo con due valori di $n $ cioè $ 2 $ e $3$.
Quindi non è iniettiva? Potresti dirmi, per favore, dove ho sbagliato nei calcoli? e anche se gli altri calcoli vanno bene..
*INIETTIVITA'
* (I) $ f(n)=n/2+1 $ con $n $ pari genera tutti i numeri interi positivi
* (II )$f(n) =n-1 $ con $n $ dispari genera tutti e solo i numeri pari positivi.
Quindi $f(n) $ non è inetiiva in quanto ogni numero pari dell'insieme immagine ha 2 controimmagini.
*SURIETTIVITA'
Poichè (I) genera tutti i numeri interi positivi allora $f(n)$ è suriettiva.
* (I) $ f(n)=n/2+1 $ con $n $ pari genera tutti i numeri interi positivi
* (II )$f(n) =n-1 $ con $n $ dispari genera tutti e solo i numeri pari positivi.
Quindi $f(n) $ non è inetiiva in quanto ogni numero pari dell'insieme immagine ha 2 controimmagini.
*SURIETTIVITA'
Poichè (I) genera tutti i numeri interi positivi allora $f(n)$ è suriettiva.
non penso che gli posso scrivere cosi sul compito. Comunque grazie lo stesso
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