Esercizio su funzione implicite

ludwigZero
posto i passaggi di un esercizio che sto tentando di risolvere
Dire se esiste una funzione $y=f(x)$ definita implicitamente dall'equazione:

$F(x,y)= sin x cos y - e^x + e^y = 0$

in un intorno del punto $(0,0)$ giustificando la risposta


in sostanza devo verificare il teorema del dini.

$F(x_0, y_0) = 0$
$F_y (x_0, y_0) =0$ (diverso da 0)


$F_y = sin x (-sin y) + e^y$ nell'intorno di $(0,0)$ , tale derivata è $1$ quindi il teorema pare verificato.


la seconda parte del problema richiede:

calcolare il seguente limite:

$lim_(x->0) (f(x) - sin x)/x$

ma per risolvere $y'$ credo non sia possibile *_* poichè viene:

$f'(x) = - F_x /F_y$

verrebbe:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+ ... -+e%5Ey%29


mi sa che c'è qualche cosa che non va....

suggerimenti?

Risposte
theras
"TeM":
La prima parte dell'esercizio è sostanzialmente corretta:
semplice verifica delle ipotesi del teorema di Ulisse Dini.

La seconda parte del problema richiede la risoluzione di un limite.
Ecco che allora, anche se $f(x)$ non si sa scrivere esplicitamente,
nulla toglie che la si possa approssimare con uno sviluppo in serie
di Taylor centrato in $(0,0)$.


Dato che ho più volte manifestato la mia abitudine ad un uso più "parsimonioso" degli sviluppi di Taylor,
non sposo la tua strategia di usare quello di MacLaurin(cioè con centro in $x_0=0$..)della f:
non certo perchè sbagliata,
ma solo per paura che la prima parte dei corsi d'Analisi diventi sempre più negli anni una sorta di preparazione propedeutica alla formula di Taylor
(che è un mezzo,non un fine..)!

"TeM":

E' in questi casi che il teorema del Dini mostra tutta la sua potenza !

..


E quì mi trovi ben più d'accordo nei gusti;
infatti si potrebbe semplicemente osservare che quella f definita implicitamente è,proprio per il Dini,
di classe $C^1$ in un opportuno intervallo aperto $I$ contenente 0,
e dunque ivi lo è pure il numeratore di quel limite
(perchè differenza tra f e la $g(x)=cosx:I to RR$,
quest'ultima addirittura dotata di derivata prima continua in tutto $RR$..):
siamo insomma nelle condizioni d'affermare,
mandando all'Hospital quel limite con una base di ricovero formalmente ineccepibile :-D :wink:
([OT]certo ben più di quanto accada in taluni Hospital del Belpaese :cry: :x :evil: [OT]..) ,
che esso converge a $f'(0)-cos0=..=-1$!
Saluti dal web.
P.S.(per i Mod o qualche anima pia..)
Perchè non compare quel che deve apparire,
digitando il "simbolo d'appartenenza simmetrizzato" come suggerito in entrambi i vs prontuari sui codici(ovvero I ni 0)?

ludwigZero
che trucco assurdo.
elegante quanto mai *_* alla mia sessione nessuno riuscì a farlo.
e io che manco avevo studiato l'argomento xD

quindi il limite si riduce a:

$lim_(x->0) f'(x) - cos x$

giussto?

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