Esercizio su funzione convessa
Vi propongo un esercizio con la mia relativa soluzione per vedere cosa ne pensate e soprattutto per chiedervi se ne avreste di diverse.
Sia [tex]h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] ua funzione tale che
[tex]\large \lim_{x\rightarrow -\infty}(h(x)+x)=0[/tex]
[tex]\large \lim_{x\rightarrow +\infty}(h(x)+2x)=0[/tex]
Si dimostri che la funzione h non può essere convessa.
Risoluzione:
Dal primo limite deduco che la funzione h, in un intorno di [tex]-\infty[/tex], è ben approssimata dalla funzione
[tex]y=-x[/tex]
Analogamente in un intorno di [tex]+\infty[/tex] la funzione h è ben approssimata dalla funzione [tex]y=-2x[/tex]
Ora fisso tre punti [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex] e [tex]\gamma[/tex] tali che [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] appartengano ad un intorno di [tex]-\infty[/tex] mentre [tex]\gamma[/tex] appartenga ad un intorno di [tex]+\infty[/tex]. Inoltre sia [tex]\alpha <\beta[/tex] (chiaramente vale anche [tex]\alpha <\beta<\gamma[/tex]).
Per assurdo suppongo che h sia convessa. Per definizione di convessità si deve avere:
[tex]\large \frac{h(\beta)-h(\alpha)}{\beta-\alpha}\leq \frac{h(\gamma)-h(\beta)}{\gamma-\beta}[/tex]
Per il discorso fatto prima sull'approssimare la funzione negli intorni di infinito si ha
[tex]f(\beta)=-\beta[/tex]
[tex]f(\alpha)=-\alpha[/tex]
[tex]f(\gamma)=-2\gamma[/tex]
Sostituendo nella precedente disequazione si ha
[tex]\large \frac{-\beta+\alpha}{\beta-\alpha}\leq\frac{-2\gamma+\beta}{\gamma -\beta}[/tex]
[tex]\large -1\leq-\frac{2\gamma-\beta}{\gamma - \beta}[/tex]
Ma notiamo anche che siccome [tex]\beta<\gamma[/tex] si ha
[tex]\large -\frac{2\gamma-\beta}{\gamma-\beta}<-1[/tex]
E quindi si è giunti ad una contraddizione
[tex]\large -1\leq-\frac{2\gamma-\beta}{\gamma-\beta}<-1[/tex]
Che ne pensate? Troppo grossolano come ragionamento?
Sia [tex]h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] ua funzione tale che
[tex]\large \lim_{x\rightarrow -\infty}(h(x)+x)=0[/tex]
[tex]\large \lim_{x\rightarrow +\infty}(h(x)+2x)=0[/tex]
Si dimostri che la funzione h non può essere convessa.
Risoluzione:
Dal primo limite deduco che la funzione h, in un intorno di [tex]-\infty[/tex], è ben approssimata dalla funzione
[tex]y=-x[/tex]
Analogamente in un intorno di [tex]+\infty[/tex] la funzione h è ben approssimata dalla funzione [tex]y=-2x[/tex]
Ora fisso tre punti [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex] e [tex]\gamma[/tex] tali che [tex]\alpha[/tex] e [tex]\beta[/tex] appartengano ad un intorno di [tex]-\infty[/tex] mentre [tex]\gamma[/tex] appartenga ad un intorno di [tex]+\infty[/tex]. Inoltre sia [tex]\alpha <\beta[/tex] (chiaramente vale anche [tex]\alpha <\beta<\gamma[/tex]).
Per assurdo suppongo che h sia convessa. Per definizione di convessità si deve avere:
[tex]\large \frac{h(\beta)-h(\alpha)}{\beta-\alpha}\leq \frac{h(\gamma)-h(\beta)}{\gamma-\beta}[/tex]
Per il discorso fatto prima sull'approssimare la funzione negli intorni di infinito si ha
[tex]f(\beta)=-\beta[/tex]
[tex]f(\alpha)=-\alpha[/tex]
[tex]f(\gamma)=-2\gamma[/tex]
Sostituendo nella precedente disequazione si ha
[tex]\large \frac{-\beta+\alpha}{\beta-\alpha}\leq\frac{-2\gamma+\beta}{\gamma -\beta}[/tex]
[tex]\large -1\leq-\frac{2\gamma-\beta}{\gamma - \beta}[/tex]
Ma notiamo anche che siccome [tex]\beta<\gamma[/tex] si ha
[tex]\large -\frac{2\gamma-\beta}{\gamma-\beta}<-1[/tex]
E quindi si è giunti ad una contraddizione
[tex]\large -1\leq-\frac{2\gamma-\beta}{\gamma-\beta}<-1[/tex]
Che ne pensate? Troppo grossolano come ragionamento?
Risposte
Beh, non mi piace troppo.
Perché, invece di prendere \(\alpha,\beta ,\gamma\) a casaccio non prendi \(\alpha =-x,\ \beta =0,\ \gamma =x\) (con \(x>0\))?
Fatto ciò, puoi passare ambo i membri della disuguaglianza di convessità al limite per \(x\to +\infty\).
Tirando fuori un paio di stime asintotiche dai limiti, mi pare che ne esca qualcosa di buono.
Prova un po'.
Perché, invece di prendere \(\alpha,\beta ,\gamma\) a casaccio non prendi \(\alpha =-x,\ \beta =0,\ \gamma =x\) (con \(x>0\))?
Fatto ciò, puoi passare ambo i membri della disuguaglianza di convessità al limite per \(x\to +\infty\).
Tirando fuori un paio di stime asintotiche dai limiti, mi pare che ne esca qualcosa di buono.
Prova un po'.
"gugo82":
Beh, non mi piace troppo.
Perché, invece di prendere \(\alpha,\beta ,\gamma\) a casaccio non prendi \(\alpha =-x,\ \beta =0,\ \gamma =x\) (con \(x>0\))?
Fatto ciò, puoi passare ambo i membri della disuguaglianza di convessità al limite per \(x\to +\infty\).
Tirando fuori un paio di stime asintotiche dai limiti, mi pare che ne esca qualcosa di buono.
Prova un po'.
Non posso prendere numeri specifici. Sono obbligato a prenderli in quel modo perchè non so nulla sulla funzione, se non il suo comportamento agli intorni di infinito. Per esempio non posso prendere un punto [tex]\beta=0[/tex] perchè non so se davvero il punto 0 appartiene alla funzione h.
Ma la tua funzione è definita in tutto \(\mathbb{R}\)...
"Stefano93":
Sia [tex]h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] [...]

Verissimo, hai ragione...però non saprei come andare avanti perchè non ho nessuna informazione sul suo valore nel punto 0. Inoltre perdonami ma non so cosa siano le stime asintotiche, le ho già sentite, o magari le uso ma le chiamo in un altro modo.

Ad esempio, dal secondo limite ricavi:
\[
0=\lim_{x\to +\infty} h(x) +2x = \lim_{x\to +\infty} 2x\ \left( \frac{h(x)}{2x} +1\right) = \lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{h(x)}{2x} +1}{\frac{1}{2x}}
\]
quindi la funzione \(\frac{h(x)}{2x} +1\) è un infinitesimo in \(+\infty\) d'ordine superiore a \(\frac{1}{x}\), il che usualmente si scrive in termini di stima asintotica come:
\[
\frac{h(x)}{2x} +1 = \text{o} \left( \frac{1}{x}\right)\; .
\]
Dalla precedente ricavi immediatamente:
\[
h(x) = -2x + \text{o}(1)
\]
ove \(\text{o}(1)\) denota, come al solito, un termine infinitesimo; quella appena trovata è una stima asintotica per \(h(x)\) quando \(x\to +\infty\).
Analogamente, giocando col primo limite:
\[
\lim_{y\to -\infty} h(y) +y=0
\]
riesci a trovare una stima asintotica per \(h(-x)\) quando \(x\to +\infty\).
Fatto ciò, i limiti dei due rapporti:
\[
\frac{h(-x)-h(0)}{-x} \qquad \text{e} \qquad \frac{h(x)-h(0)}{x}
\]
si calcolano facile (tieni presente che \(h(0)\) è un numero).
\[
0=\lim_{x\to +\infty} h(x) +2x = \lim_{x\to +\infty} 2x\ \left( \frac{h(x)}{2x} +1\right) = \lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{h(x)}{2x} +1}{\frac{1}{2x}}
\]
quindi la funzione \(\frac{h(x)}{2x} +1\) è un infinitesimo in \(+\infty\) d'ordine superiore a \(\frac{1}{x}\), il che usualmente si scrive in termini di stima asintotica come:
\[
\frac{h(x)}{2x} +1 = \text{o} \left( \frac{1}{x}\right)\; .
\]
Dalla precedente ricavi immediatamente:
\[
h(x) = -2x + \text{o}(1)
\]
ove \(\text{o}(1)\) denota, come al solito, un termine infinitesimo; quella appena trovata è una stima asintotica per \(h(x)\) quando \(x\to +\infty\).
Analogamente, giocando col primo limite:
\[
\lim_{y\to -\infty} h(y) +y=0
\]
riesci a trovare una stima asintotica per \(h(-x)\) quando \(x\to +\infty\).
Fatto ciò, i limiti dei due rapporti:
\[
\frac{h(-x)-h(0)}{-x} \qquad \text{e} \qquad \frac{h(x)-h(0)}{x}
\]
si calcolano facile (tieni presente che \(h(0)\) è un numero).