Esercizio su Fourier e Parseval
Ho questo esercizio: $f(x)=x^2$ in $L^2(-\pi,\pi)$
mi si chiede di calcolare i coefficienti di Fourier e di dimostrare, con l'identità di Parseval (tramite in ì coefficienti trovati) che $sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}= \frac{\pi^4}{90}$.
Con un po' di olio di gomito ho calcolato i coefficienti (sperando che siano giusti).
$\frac{a_0}{2}= 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = \frac{\pi^2}{3}$
$a_n =1/\pi \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos(nx) dx$ risolto per parti - per 2 volte, contando come funzione da eliminare $x^2$ - mi da, dopo una facciata di calcoli, come risultato $(-1)^n \frac{2}{n^2}$
I calcoli sono qui sotto. (Ho portato con $a_n$ quella costante $1/\pi$).
$b_n= 1/\pi \int_-\pi^\pi x^2 sin(nx) dx = 0 $ perché il seno è una funzione dispari ed $x^2$ è pari.
Ammesso che sia quello il risultato esatto, non ho la più pallida idea di come si applica l'identità di Parseval perché durante il corso è stata spiegata come corollario di un teorema (sui sistemi ortonormali) senza vedere un esempio (la ricerca su google non è che mi ha aiutato molto, altrimenti non chiedevo aiuto al forum)...
mi si chiede di calcolare i coefficienti di Fourier e di dimostrare, con l'identità di Parseval (tramite in ì coefficienti trovati) che $sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}= \frac{\pi^4}{90}$.
Con un po' di olio di gomito ho calcolato i coefficienti (sperando che siano giusti).
$\frac{a_0}{2}= 1/(2\pi) \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = \frac{\pi^2}{3}$
$a_n =1/\pi \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos(nx) dx$ risolto per parti - per 2 volte, contando come funzione da eliminare $x^2$ - mi da, dopo una facciata di calcoli, come risultato $(-1)^n \frac{2}{n^2}$
I calcoli sono qui sotto. (Ho portato con $a_n$ quella costante $1/\pi$).
$b_n= 1/\pi \int_-\pi^\pi x^2 sin(nx) dx = 0 $ perché il seno è una funzione dispari ed $x^2$ è pari.
Ammesso che sia quello il risultato esatto, non ho la più pallida idea di come si applica l'identità di Parseval perché durante il corso è stata spiegata come corollario di un teorema (sui sistemi ortonormali) senza vedere un esempio (la ricerca su google non è che mi ha aiutato molto, altrimenti non chiedevo aiuto al forum)...
Risposte
L'identità di Parseval afferma che:
[tex]\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx[/tex]
Ora, notando che, nel nostro caso, [tex]c_n=a_n[/tex] e che [tex]a_n=a_{-n}[/tex], si ha:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|^2=\frac{\pi^4}{9}+8\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^4}[/tex]
Quindi:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx-\frac{\pi^4}{9}\right)[/tex]
Calcolando l'integrale si ha:
[tex]\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx=\int_{-\pi}^{\pi}x^4dx=\frac{x^5}{5}\big|_{-\pi}^{\pi}=\frac{2}{5}\pi^5[/tex]
e ricompattando
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{8}\left(\frac{\pi^4}{5}-\frac{\pi^4}{9}\right)=\frac{\pi^4}{90}[/tex]
[tex]\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx[/tex]
Ora, notando che, nel nostro caso, [tex]c_n=a_n[/tex] e che [tex]a_n=a_{-n}[/tex], si ha:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|^2=\frac{\pi^4}{9}+8\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^4}[/tex]
Quindi:
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx-\frac{\pi^4}{9}\right)[/tex]
Calcolando l'integrale si ha:
[tex]\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx=\int_{-\pi}^{\pi}x^4dx=\frac{x^5}{5}\big|_{-\pi}^{\pi}=\frac{2}{5}\pi^5[/tex]
e ricompattando
[tex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{8}\left(\frac{\pi^4}{5}-\frac{\pi^4}{9}\right)=\frac{\pi^4}{90}[/tex]
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