Esercizio su formula di Taylor.

[galles90]

Buonasera, ho il seguente esercizio che non riesco a risolvere, di cui non mi è molto chiaro il suggerimento, vi riporto la traccia.
Sia $f: RR to RR $ positiva e derivabile due volte con $f'' le M$ con $M>0$ per ogni $x in RR$. Dimostrare che per ogni $x in RR$ si abbia

$|f'(x)|
Suggerimento: scrivere la formula di Taylor di ordine $2$ di centro $x$ ??? e usare le ipotesi su $f''$.
Come faccio a sviluppare la formula di Taylor di centro $x$, se per tale valore si annula $f$, oppure, l'autore vuole consigliare di svillupare "normalmente" la formula di Taylor in $x_0$ per poi andare a sostituire il punto $x_0$ con $x$.

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Risposte

Luca.Lussardi

23 mag 2019, 19:18

Se usi la formula di Taylor col resto di Lagrange hai che $f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(\xi)>0$ per ogni $h$ per $\xi$ opportuno. Hai dunque una disequazione $ah^2+bh+c>0$ verificata per ogni $h$: si tratta di usare una conseguenza puramente algebrica.

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galles90

24 mag 2019, 06:28

Ciao Luca.Lussardi,

non ho ben capito come devo usare la formula di Taylor con il resto di lagrange. Riporto la formula di Taylor con il resto di Lagrange di ordine $n$ centro $x_0$

$f(x)=sum_(k=0)^n(f^k(x_0))/(k!)(x-x_0)^k+(f^(n+1)(c))/((n+1)!)(x-x_0)^(n+1).$

Il problema che riscronto è come faccio a riscrivere la formula di Taylor in $x$ se per tale valore si annulla ?

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Luca.Lussardi

24 mag 2019, 06:41

Per ogni $x,h$ esiste $\xi$ tale che $0

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[Luca.Lussardi]

Se usi la formula di Taylor col resto di Lagrange hai che $f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(\xi)>0$ per ogni $h$ per $\xi$ opportuno. Hai dunque una disequazione $ah^2+bh+c>0$ verificata per ogni $h$: si tratta di usare una conseguenza puramente algebrica.

[galles90]

Ciao Luca.Lussardi,

non ho ben capito come devo usare la formula di Taylor con il resto di lagrange. Riporto la formula di Taylor con il resto di Lagrange di ordine $n$ centro $x_0$

$f(x)=sum_(k=0)^n(f^k(x_0))/(k!)(x-x_0)^k+(f^(n+1)(c))/((n+1)!)(x-x_0)^(n+1).$

Il problema che riscronto è come faccio a riscrivere la formula di Taylor in $x$ se per tale valore si annulla ?

[Luca.Lussardi]

Per ogni $x,h$ esiste $\xi$ tale che $0

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