Esercizio su forme differenziali
Salve ragazzi, avrei un problema con questo esercizio che mi chiede:
Dire se la seguente forma differenziale ammette primitiva e eventualmente calcolarla:
$ omega= (1/(2sqrt(x^2+y^2)) +2x^2)dx + (1/(2sqrt(x^2+y^2)) +e^y)dy $
Allora, per prima cosa ho calcolato il dominio della forma differenziale, che è $ R^2\\{(0,0)} $. Noto che questo dominio non è semplicemente connesso, ma ciò non influenza nè contraddice il fatto che essa sia esatta in $ R^2\\{(0,0)} $. Ho comunque il sospetto che non sia esatta su questo insieme, per cui potrei calcolare l'integrale della forma su una curva chiusa e verificare che esso sia diverso da zero, ma prima calcolo le derivate incrociate per verificare se la forma è chiusa:
$ (partiala_1)/(partialy)(x,y)=-y/(2(x^2+y^2)^(3/2) $ e $ (partiala_2)/(partialx)(x,y)=-x/(2(x^2+y^2)^(3/2) $
Questa cosa mi manda in crisi, le derivate sono diverse per cui potrei pensare di chiudere tutto qui perchè se non è chiusa non può essere esatta, ma poi mi rendo conto che se y=x in realtà le derivate parziali sono uguali. Come posso procedere?
Dire se la seguente forma differenziale ammette primitiva e eventualmente calcolarla:
$ omega= (1/(2sqrt(x^2+y^2)) +2x^2)dx + (1/(2sqrt(x^2+y^2)) +e^y)dy $
Allora, per prima cosa ho calcolato il dominio della forma differenziale, che è $ R^2\\{(0,0)} $. Noto che questo dominio non è semplicemente connesso, ma ciò non influenza nè contraddice il fatto che essa sia esatta in $ R^2\\{(0,0)} $. Ho comunque il sospetto che non sia esatta su questo insieme, per cui potrei calcolare l'integrale della forma su una curva chiusa e verificare che esso sia diverso da zero, ma prima calcolo le derivate incrociate per verificare se la forma è chiusa:
$ (partiala_1)/(partialy)(x,y)=-y/(2(x^2+y^2)^(3/2) $ e $ (partiala_2)/(partialx)(x,y)=-x/(2(x^2+y^2)^(3/2) $
Questa cosa mi manda in crisi, le derivate sono diverse per cui potrei pensare di chiudere tutto qui perchè se non è chiusa non può essere esatta, ma poi mi rendo conto che se y=x in realtà le derivate parziali sono uguali. Come posso procedere?
Risposte
Non vorrei sbagliare ma la forma differenziale deve essere chiusa su di un aperto e la curva y=x non lo è, non esiste una palla centrata in y=x qualsiasi tutta contenuta nella curva.
Questo deriva dal fatto che esatta=>chiusa deriva dal Teorema di Schwarz, ossia che la funzione primitiva sia di classe C², e non lo può essere solo lungo una curva privilegiata. In pratica per la funzione vale il teorema solo lungo quella curva, ti metti lungo un'altra curva e, NELLO STESSO PUNTO DI PRIMA, ha derivate seconde diverse. Quindi vuol dire che il teorema non vale affatto.
Questo deriva dal fatto che esatta=>chiusa deriva dal Teorema di Schwarz, ossia che la funzione primitiva sia di classe C², e non lo può essere solo lungo una curva privilegiata. In pratica per la funzione vale il teorema solo lungo quella curva, ti metti lungo un'altra curva e, NELLO STESSO PUNTO DI PRIMA, ha derivate seconde diverse. Quindi vuol dire che il teorema non vale affatto.
Chiedo scusa, sto svolgendo lo stesso esercizio...dunque, poichè non è chiusa, non ammette primitiva, giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo