Esercizio su forma differenziale
Ciao,vi propongo questo esercizio su cui ho un dubbio:
Data la seguente forma differenziale lineare: $ omega =(y^3/(2(x-1))+4sqrt(y+1))dx+(3y^2logsqrt(x-1)+(2x)/(sqrt(y+1)))dy $
Dire se è esatta e se si ,calcolare la primitiva F(x,y) tale che F(2,1)=-1
Per quanto riguarda l'esattezza della forma non ci sono problemi,in quanto si ha:
$ a_y=3y^2/(2(x-1))+2/sqrt(y+1) $ ed $ b_x=(3y^2)/(2(x-1))+2/sqrt(y+1) $ quindi la forma è chiusa e conseguentemente esatta.
Per risolvere il secondo punto cerco una primitiva della forma: integro quindi b in dy
$ int_()^() 3y^2logsqrt(x-1)+(2x)/sqrt(y+1) dy=logsqrt(x-1)int_()3y^2dy +2x int_()1/sqrt(y+1)dy=y^3logsqrt(x-1)+4xsqrt(y+1)+c(x) $
Poi calcolo $ (partial)/(partial x)(y^3logsqrt(x-1)+4xsqrt(y+1)+c(x)) =y^3/(2(x-1))+4sqrt(y+1)+c^{\prime}(x) $
Pongo $ y^3/(2(x-1))+4sqrt(y+1)+c^{\prime}(x)=a $ cioè $ y^3/(2(x-1))+4sqrt(y+1)+c^{\prime}(x)= y^3/(2(x-1))+4sqrt(y+1) $
Da cui $ c^{\prime}(x)= 0rArr c(x)=costante $
Per cui la primitiva di $ omega $ sarà $ F=y^3logsqrt(x-1)+4xsqrt(y+1)+c $
Ora il mio dubbio sta nel come soddisfare la richiesta per cui F(2,1)=-1,ho provato così:
$ -1=y^3logsqrt(x-1)+4xsqrt(y+1)+c $ da cui $ c=-1-y^3logsqrt(x-1)-4xsqrt(y+1)=-1-8sqrt2 $
Per cui F(2,1)=-1 è soddisfatta se $ c=-1-8sqrt2 $
E' corretto procedere cosi?
Data la seguente forma differenziale lineare: $ omega =(y^3/(2(x-1))+4sqrt(y+1))dx+(3y^2logsqrt(x-1)+(2x)/(sqrt(y+1)))dy $
Dire se è esatta e se si ,calcolare la primitiva F(x,y) tale che F(2,1)=-1
Per quanto riguarda l'esattezza della forma non ci sono problemi,in quanto si ha:
$ a_y=3y^2/(2(x-1))+2/sqrt(y+1) $ ed $ b_x=(3y^2)/(2(x-1))+2/sqrt(y+1) $ quindi la forma è chiusa e conseguentemente esatta.
Per risolvere il secondo punto cerco una primitiva della forma: integro quindi b in dy
$ int_()^() 3y^2logsqrt(x-1)+(2x)/sqrt(y+1) dy=logsqrt(x-1)int_()3y^2dy +2x int_()1/sqrt(y+1)dy=y^3logsqrt(x-1)+4xsqrt(y+1)+c(x) $
Poi calcolo $ (partial)/(partial x)(y^3logsqrt(x-1)+4xsqrt(y+1)+c(x)) =y^3/(2(x-1))+4sqrt(y+1)+c^{\prime}(x) $
Pongo $ y^3/(2(x-1))+4sqrt(y+1)+c^{\prime}(x)=a $ cioè $ y^3/(2(x-1))+4sqrt(y+1)+c^{\prime}(x)= y^3/(2(x-1))+4sqrt(y+1) $
Da cui $ c^{\prime}(x)= 0rArr c(x)=costante $
Per cui la primitiva di $ omega $ sarà $ F=y^3logsqrt(x-1)+4xsqrt(y+1)+c $
Ora il mio dubbio sta nel come soddisfare la richiesta per cui F(2,1)=-1,ho provato così:
$ -1=y^3logsqrt(x-1)+4xsqrt(y+1)+c $ da cui $ c=-1-y^3logsqrt(x-1)-4xsqrt(y+1)=-1-8sqrt2 $
Per cui F(2,1)=-1 è soddisfatta se $ c=-1-8sqrt2 $
E' corretto procedere cosi?
Risposte
Esatta implica chiusa, chiusa non implica esatta. $\omega(x,y)$ è chiusa; è anche esatta, col conto che hai fatto.
Si è verissimo,la chiusura non implica l'esattezza(a meno che non ci troviamo in un aperto semplicemente connesso),e comunque in questo caso dato che $ df=F'_x dx+F'_y dy $ la forma è anche esatta:)Grazie per la correzione...ma il secondo punto è corretto?
Ma ti pare che faccio i conti? 
Butta tutto su mathematica e vivi in pace, che fa ancora abbastanza caldo per mangiare il gelato.
Butta tutto su mathematica e vivi in pace, che fa ancora abbastanza caldo per mangiare il gelato.
E pure tu c'hai ragione 
ma non chiedevo di fare i calcoli,volevo solo sapere se è giusto l'approccio,cioè se per trovare F(2,1)0=-1 sia corretto sostituire i valori (2,1)nella primitiva e porla =-1 per poi trovare il valore di c per cui è soddisfatta..
ma non chiedevo di fare i calcoli,volevo solo sapere se è giusto l'approccio,cioè se per trovare F(2,1)0=-1 sia corretto sostituire i valori (2,1)nella primitiva e porla =-1 per poi trovare il valore di c per cui è soddisfatta..
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