Esercizio su forma differenziale
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[img]http://grab.by/je5k[/img]
La curva non dovrebbe essere $\gamma = {x = t, y = e^t} t in [0,1]$?
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La curva non dovrebbe essere $\gamma = {x = t, y = e^t} t in [0,1]$?
Risposte
Sì che è quella che hai scritto. Chi ha svolto l'esercizio?
In ogni caso, calcolare esplicitamente tutto l'integrale con la curva corretta è un suicidio: conviene ragionare sulla possibilità che la forma possa essere o meno esatta e poi costruirsi un "utile" cammino chiuso per determinarne il valore.
In ogni caso, calcolare esplicitamente tutto l'integrale con la curva corretta è un suicidio: conviene ragionare sulla possibilità che la forma possa essere o meno esatta e poi costruirsi un "utile" cammino chiuso per determinarne il valore.
Non ho idea di chi l'abbia svolto, è un pdf che circola nel web storage condiviso degli studenti.
Ho verificato che la f.d. fosse esatta, e lo è. La curva presa dall'incognito studente, mi risulta errata, gli estremi a e b non coincidono (0,0),(1,1)...
Ho preso la seguente curva:
$\gamma:{x = t, y = t} t in [0,1]$ ed ho calcolato l'integrale curvilineo della forma diff. esatta. Cioè => $log(\sqrt{3})$.
Ho verificato che la f.d. fosse esatta, e lo è. La curva presa dall'incognito studente, mi risulta errata, gli estremi a e b non coincidono (0,0),(1,1)...
Ho preso la seguente curva:
$\gamma:{x = t, y = t} t in [0,1]$ ed ho calcolato l'integrale curvilineo della forma diff. esatta. Cioè => $log(\sqrt{3})$.
Aspetta, mi correggo.. la f.d è esatta per $\int_\gamma \frac{x}{1+x^2+y^2} dx + \frac{y}{1+x^2+y^2} dy$ per il restante non è esatta $\int_\gamma xydx + 0 dy$
Come proseguo?, devo calcolare per quest'ultima l'integrale curvilineo sulla curva (x,e^x) e sommarla alla precedente?
Come proseguo?, devo calcolare per quest'ultima l'integrale curvilineo sulla curva (x,e^x) e sommarla alla precedente?
Up.
Ciao, scusami ma ho avuto problemi con la rete in questi giorni.
Riprendendo il discorso:
$\omega=1/{1+x^2+y^2} (x\ dx+y\ dy)$ è esatta, come arguivi, per cui basta trovarne un potenziale, che è $f(x,y)=\log(1+x^2+y^2)$ e pertanto si ha che
$\int_\gamma\omega=f(1,e)-f(0,1)=\log(2+e^2)-\log(2)$
Poiché l'altro termine non fornisce una forma esatta, basta integrare sulla curva $(t,e^t)$ ottenendo
$\int_\gamma xy\ dx=\int_0^1 t e^t\ dt=[t e^t]_0^1-\int_0^1 e^t\ dt=e-[e^t]_0^1=e-e+1=1$
Il risultato è la somma dei due integrali.
Riprendendo il discorso:
$\omega=1/{1+x^2+y^2} (x\ dx+y\ dy)$ è esatta, come arguivi, per cui basta trovarne un potenziale, che è $f(x,y)=\log(1+x^2+y^2)$ e pertanto si ha che
$\int_\gamma\omega=f(1,e)-f(0,1)=\log(2+e^2)-\log(2)$
Poiché l'altro termine non fornisce una forma esatta, basta integrare sulla curva $(t,e^t)$ ottenendo
$\int_\gamma xy\ dx=\int_0^1 t e^t\ dt=[t e^t]_0^1-\int_0^1 e^t\ dt=e-[e^t]_0^1=e-e+1=1$
Il risultato è la somma dei due integrali.
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