Esercizio su f differenziabile
Salve, sto studiando la differenziabilità ed ho risolto questo esercizio, solo che non ho la possibilità di verificare se lo svolgimento è giusto, spero possiate controllarlo e dirmi se ci sono errori.
"Si consideri la funzione $f(x,y)=x^4+y^4-3(x-y)^2$
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile."
La formula da applicare (presa dal Marcellini-Sbordone) è $lim_((h,k)->(0,0))(f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k)/sqrt(h^2+k^2)=0$ quindi calcolo le derivate parziali, sostituisco e ottengo questo: $lim_((h,k)->(0,0))(6h^2x^2+4k^2y^2+(4h^3+6h-6k)x+(4k-6h+6k)y+h^4+k^4)/sqrt(h^2+k^2)$
Dato che $(h,k)->(0,0)$ il limite si riduce alla risoluzione del $lim_((h,k)->(0,0))(h^4+k^4)/sqrt(h^2+k^2)$ che è nella forma $0/0$, quindi passo alle coordinate polari ponendo $\{(h=\rhocos\vartheta),(k=\rhosen\vartheta):}$ ed ottengo: $lim_((cos\vartheta,sen\vartheta)->(0,0))(\rho(cos^4\vartheta+sen^4\vartheta))/sqrt(\rho^2cos^2\vartheta+\rho^2sen^2\vartheta)$ che diventa $lim_((cos\vartheta,sen\vartheta)->(0,0))(cos^4\vartheta+sen^4\vartheta)$ che è uguale a 0.
"Si consideri la funzione $f(x,y)=x^4+y^4-3(x-y)^2$
Stabilire, giustificando la risposta, se la funzione f è differenziabile."
La formula da applicare (presa dal Marcellini-Sbordone) è $lim_((h,k)->(0,0))(f(x+h,y+k)-f(x,y)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k)/sqrt(h^2+k^2)=0$ quindi calcolo le derivate parziali, sostituisco e ottengo questo: $lim_((h,k)->(0,0))(6h^2x^2+4k^2y^2+(4h^3+6h-6k)x+(4k-6h+6k)y+h^4+k^4)/sqrt(h^2+k^2)$
Dato che $(h,k)->(0,0)$ il limite si riduce alla risoluzione del $lim_((h,k)->(0,0))(h^4+k^4)/sqrt(h^2+k^2)$ che è nella forma $0/0$, quindi passo alle coordinate polari ponendo $\{(h=\rhocos\vartheta),(k=\rhosen\vartheta):}$ ed ottengo: $lim_((cos\vartheta,sen\vartheta)->(0,0))(\rho(cos^4\vartheta+sen^4\vartheta))/sqrt(\rho^2cos^2\vartheta+\rho^2sen^2\vartheta)$ che diventa $lim_((cos\vartheta,sen\vartheta)->(0,0))(cos^4\vartheta+sen^4\vartheta)$ che è uguale a 0.
Risposte
Potevi concludere senza nemmeno fare un conto che la funzione è di classe $C^(oo)$ su $RR^2$ (e quindi differenziabile) in quanto è un polinomio.
Poi non sono proprio sicuro che si usino così le coordinate polari (non ha senso scrivere $(cos theta, sin theta) -> (0,0)$).
Poi non sono proprio sicuro che si usino così le coordinate polari (non ha senso scrivere $(cos theta, sin theta) -> (0,0)$).
Come le usi le coordinate polari? il risultato è giusto ma ci sei arrivato in un modo sbagfliato
$rho->0$
"Giuly19":
Potevi concludere senza nemmeno fare un conto che la funzione è di classe $C^(oo)$ su $RR^2$ (e quindi differenziabile) in quanto è un polinomio.
Poi non sono proprio sicuro che si usino così le coordinate polari (non ha senso scrivere $(cos theta, sin theta) -> (0,0)$).
Sono andato a rivedere tutto l'argomento sul libro di teoria, ho capito cosa vuoi dire quando dici che la funzione è di classe $C^(oo)$, ma non è spiegato nè come si fa a deteminare la classe (a parte $C^0$ e $C^1$) e nè quello che dici, ossia che se la funzione è di classe $C^(oo)$ su $RR^2$ è differenziabile, me li potresti spiegare?
"Mirino06":
$rho->0$
Grazie per la dritta
"kickbox":
se la funzione è di classe $C^(oo)$ su $RR^2$ è differenziabile
Vai a vederti il teorema del differenziale totale.
Per quanto riguarda la classe, se hai davanti funzioni elementari come un polinomio non ci vuole molto.
"Giuly19":
Vai a vederti il teorema del differenziale totale.
Per quanto riguarda la classe, se hai davanti funzioni elementari come un polinomio non ci vuole molto.
Vedendo il teorema del differenziale ho capito che se la funzione è di classe $>=1$ ciò vuol dire che f è differenziabile, però non riesco a capire come si faccia, studiando una funzione, a capire a quale classe appartenga...
Praticamente dal teorema del differenziale totale ho che se posso calcolarmi le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ e queste sono continue in $RR^2$ allora f è differenziabile, giusto?
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