Esercizio su distanza metrica.

[lawrencepad]

Buongiorno, vorrei sapere da qualcuno di voi se una risposta che ho dato ieri durante il parziale di Analisi I è corretta..

Sia $X = {x \in RR : x>0}$ e sia $d(x,y) = |exp(-x) - exp(-y)|$ per ogni $x,y \in X$.
Nello spazio metrico $(X,d)$ il diametro dell'intervallo $(1,+\infty\)$ vale:

a) $1$
b) $+\infty$
c) $e$
d) $1/e$


Dalla traccia sappiamo che la distanza metrica è caratterizzata da
$|exp(-x) - exp(-y)|$ (dove precisiamo che $exp$ è equivalente all'elevamento a potenza di $e$ numero di nepero).

Perciò sappiamo che la distanza del diametro nell'intervallo $(1,+\infty\)$ è in sostanza:

$|e^(-1) - e^(-\infty)|$

$|1/e^1 -1/e^(+\infty)|$

Ora $1/e^(+\infty)$ è una quantità che tende a 0.

Per questa ragione il risultato il diametro in quell'intervallo è proprio $1/e$


Perciò la mia risposta è stata la D.
Ho sbagliato secondo voi?

[Antimius]

E' giusto: $ \forall x < y \, |e^{-x}-e^{-y}| \leq |e^{-1} - e^{-y}| \to 1/e$. Analogamente si mostra per $x > y$. Ma allora $\forall x,y \. |e^{-x}-e^{-y}| \leq 1/e$ (da cui segue che il sup è minore di $1/e$).
Viceversa \(\displaystyle \sup_{x,y} |e^{x}-e^{-y}| \geq \sup_y |e^{-1}-e^{-y}| \geq 1/e\) (perché $|e^{-1}-e^{-y}| \to 1/e$).
Mettendo insieme le due disuguaglianze, ottieni l'uguaglianza.