Esercizio su differenziabilità di f(x,y)
Ciao ragazzi,
ho la seguente funzione:
$f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)*(x^2-2x+y^2)$
di cui il quesito chiede di provare che sia differenziabile in $RR^2$.
Ho calcolato le derivate parziali:
$f_x(x,y)= (-x(x^2+y^2+2x))/sqrt(x^2+y^2)$
$f_y(x,y)= (-y(x^2+y^2+2y))/sqrt(x^2+y^2)$
ma è chiaro che esistono per $(x,y)!=(0,0)$, di conseguenza f non sarebbe differenziabile in $RR^2$.
In cosa sbaglio?
ho la seguente funzione:
$f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)*(x^2-2x+y^2)$
di cui il quesito chiede di provare che sia differenziabile in $RR^2$.
Ho calcolato le derivate parziali:
$f_x(x,y)= (-x(x^2+y^2+2x))/sqrt(x^2+y^2)$
$f_y(x,y)= (-y(x^2+y^2+2y))/sqrt(x^2+y^2)$
ma è chiaro che esistono per $(x,y)!=(0,0)$, di conseguenza f non sarebbe differenziabile in $RR^2$.
In cosa sbaglio?
Risposte
considera che $f \quad \in \quad C^1(I) \implies f \quad \text{differenziabile in} \quad I$, quindi il fatto che $f$ non sia di classe $C^1$ non implica che $f$ non sia differenziabile
"robe92":
considera che $f \quad \in \quad C^1(I) \implies f \quad \text{differenziabile in} \quad I$, quindi il fatto che $f$ non sia di classe $C^1$ non implica che $f$ non sia differenziabile
$f$ non è di classe $C^1(D)$, ma può comunque essere differenziabile; allora come faccio a studiare la differenziabilità in $RR^2$?
Grazie per la risposta!
vedi che è continua ovunque e che in un intorno dell'origine è derivabile, calcoli le derivate nel punto incriminato con la definizione e vedrai che il limite esiste sempre finito anche, e vale 0 da qualsiasi direzione tu arrivi !!quindi, teoremetto tappa buchi e tanti saluti laderiate esiste nel punto e quindi è differenziabile!!! credo addirittura puoi fare il limite dal nabla e definire f_x(0,0)=f_y(0,0)=0!
"ithilion6":
la derivata esiste nel punto e quindi è differenziabile!!!
NO, NO, assolutamente NO!
non valendo la condizione sufficiente di differenziabilità, non ti resta che studiare a mano il limite, utilizzando la definizione di differenziabilità
Ok, la procedura classica è vedere se è continua,vedere le derivate parziali,usare la definizione. Cmq Le ipotesi del tappabuchi sono 1:f continua in un intorno,2 esiste un intorno B(x_0)/x_x0 in cui è derivabile,3ed esiste il limite finito(e coincidente su ogni direzione) del gradiente,!!!->il gradiente è continuo in zero col buco tappato, quindi anche le varie deriate parziali(con il limite su ogni direzione volevo proprio affermare la loro continuità)->f è differenziabile....non ho mai risolto un esercizio del genere così, quindi segnalatemi l'inghippo... ma onestamente mi sembra vada bene!!!
Ciao a tutti, a me piace immaginare il grafico della funzioni in due variabili per poi farmi delle idee.
Nel nostro caso vedo una superficie che somiglia ad un paraboloide un po' deformato, un po' stirato da una parte (vertice in $V(1;0)$ dove la funzione assume il valore minimo di -1) che poi si alza "alza" fino ad incontrare il piano $xy$ lungo la circonferenza di equazione $(x-1)^2+y^2=0$ e da lì è sempre positiva e sempre più grande via via che ci si allontana dalla circonferenza.
Detto ciò non vedo particolarità di sorta nell'origine, mi sembra che ci si possa "appoggiare" un piano senza problemi, sbaglio?
Nel nostro caso vedo una superficie che somiglia ad un paraboloide un po' deformato, un po' stirato da una parte (vertice in $V(1;0)$ dove la funzione assume il valore minimo di -1) che poi si alza "alza" fino ad incontrare il piano $xy$ lungo la circonferenza di equazione $(x-1)^2+y^2=0$ e da lì è sempre positiva e sempre più grande via via che ci si allontana dalla circonferenza.
Detto ciò non vedo particolarità di sorta nell'origine, mi sembra che ci si possa "appoggiare" un piano senza problemi, sbaglio?
"ithilion6":
3ed esiste il limite finito(e coincidente su ogni direzione) del gradiente,!!!->il gradiente è continuo in zero col buco tappato->f è differenziabile....non ho mai risolto un esercizio del genere così, quindi segnalatemi l'inghippo...
L'inghippo sta qui: dire che esistono i limiti direzionali (tutti uguali) non è la stessa cosa che dire che esiste il limite.
Il teorema da te citato è corretto assumendo che il gradiente sia continuo nel punto in questione.
non intendevo che son uguali...ma che il limite fatto su ogni singola componente del gradiente (presa singolarmente), arrivando da ogni direzione, esiste finito!!!! quindi il gradiente ha una sorta di "discontinuità eliminabile(come la chiamavo in analisi I"-> gli tappo il buco e lo rendo continuo -> f è differenziabile!!!no?
Certo, purché tu faccia il limite (globale), e non i limiti direzionali.
sisi io parlavo di limite globale quando dicevo arrivando da ogni direzione, non mi stupisco di essere stato frainteso,mi esprimo in modo formalmente atroce xD....
per questo che si "tappa il buco xD" proprio per renderlo continuo!!!(per vedere che effettivamente la discontinuità è eliminabile, fai il limite globale), ad esempio in cordinate polari[tex]x=0+p*cos(\theta) y=0+p*sin(\theta) \lim_{(x,y) \to \(0,0)}f_x=lim_{p \to \(0)}\frac{-p^2(p+2cos(\theta) )cos(\theta)}{p} =0[/tex] per ogni[tex]\theta[/tex]. non dipendendo dall'angolo, il limite è lo stesso da ogni direzione in cui tu arrivi, risultato analogo lo ottieni anche con l'altra componente, per cui la discontinutità è eliminabile!
quindi quando uso le coordinate polari e trovo che i limiti non dipendono dagli angoli $\theta$ si può concludere che i limiti in tutte le direzioni hanno lo stesso valore che ho trovato?
si, ma non solo con le polari...l'idea è di circonare il punto cn un intorno, sferico cilindrico, cubico, o come più ti piace( va beh qui siam nel caso bi-dimensionale ) e calcolare il limite su tutti i punti dell'intorno, per far si che sia infinitesimo fai collassare il raggio a zero!!!così vai proprio a valutare il limite su TUTTI i punti dll'intorno..e se vedi che non dipende dall'angolo(o 2 angoli se sei in tre dimensioni) di arrivo...puoi concludere che il valore è lo stesso per ogni direzione!!!quindi discendono poi le altre considerazioni fatte sopra!
Se anche esistono tutti i limiti direzionali e sono uguali non è detto che esista il limite di una funzione.
Faccio un esempio molto semplice:
\[
f(x,y) := \begin{cases}
1, &\text{se}\ y = x^2,\ x\neq 0,\\
0, &\text{altrimenti}.
\end{cases}
\]
Abbiamo che \(\lim_{\rho\to 0+} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) = 0\) per ogni angolo \(\theta\) ma, evidentemente, la funzione non è continua nell'origine.
Faccio un esempio molto semplice:
\[
f(x,y) := \begin{cases}
1, &\text{se}\ y = x^2,\ x\neq 0,\\
0, &\text{altrimenti}.
\end{cases}
\]
Abbiamo che \(\lim_{\rho\to 0+} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) = 0\) per ogni angolo \(\theta\) ma, evidentemente, la funzione non è continua nell'origine.
ovvio, il limite deve combaciare col valore della funzione nel punto per avere la continuità, ma è proprio quello che ho fatto... gli ho imposto che il valore assunto in quel punto, combaciasse con quello dei limiti,(visto che li la funzione non era definita, gli ho tappato il buco).
Ho perso il filo...
ora lo cerco!
la funzione è questa?
A me sembra che sia definita nell'origine$f(0;0)=0$, se mai le grane iniziano con le derivate parziali perchè $sqrt(x^2+y^2)$ finisce al denominatore.
ora lo cerco!
la funzione è questa?
"Trimalcione":
$f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)*(x^2-2x+y^2)$
A me sembra che sia definita nell'origine$f(0;0)=0$, se mai le grane iniziano con le derivate parziali perchè $sqrt(x^2+y^2)$ finisce al denominatore.
sisi di quello parlavamo xD se si potesse "imporre la continuità in 0, del gradiente" per dimostrare la differenziabilità di f!
"ithilion6":
ovvio, il limite deve combaciare col valore della funzione nel punto per avere la continuità, ma è proprio quello che ho fatto... gli ho imposto che il valore assunto in quel punto, combaciasse con quello dei limiti,(visto che li la funzione non era definita, gli ho tappato il buco).
Nell'esempio che ho fatto i limiti direzionali coincidono col valore nell'origine (che è \(0\)).
Comunque, per l'esempio iniziale (del primo post) la differenziabilità nell'origine si dimostra in un attimo usando la definizione.
E, sempre in questo caso, il gradiente risulta continuo anche nell'origine (ma continuo per davvero, non solo lungo le direzioni).
"Rigel":
Comunque, per l'esempio iniziale (del primo post) la differenziabilità nell'origine si dimostra in un attimo usando la definizione.
E, sempre in questo caso, il gradiente risulta continuo anche nell'origine (ma continuo per davvero, non solo lungo le direzioni).
intendi la differenziabilità delle derivate parziali?
Intendo la differenziabilità della funzione (di questo si parlava, se non sbaglio).
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