Esercizio su differenziabilità di f(x,y)
Ciao ragazzi,
ho la seguente funzione:
$f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)*(x^2-2x+y^2)$
di cui il quesito chiede di provare che sia differenziabile in $RR^2$.
Ho calcolato le derivate parziali:
$f_x(x,y)= (-x(x^2+y^2+2x))/sqrt(x^2+y^2)$
$f_y(x,y)= (-y(x^2+y^2+2y))/sqrt(x^2+y^2)$
ma è chiaro che esistono per $(x,y)!=(0,0)$, di conseguenza f non sarebbe differenziabile in $RR^2$.
In cosa sbaglio?
ho la seguente funzione:
$f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)*(x^2-2x+y^2)$
di cui il quesito chiede di provare che sia differenziabile in $RR^2$.
Ho calcolato le derivate parziali:
$f_x(x,y)= (-x(x^2+y^2+2x))/sqrt(x^2+y^2)$
$f_y(x,y)= (-y(x^2+y^2+2y))/sqrt(x^2+y^2)$
ma è chiaro che esistono per $(x,y)!=(0,0)$, di conseguenza f non sarebbe differenziabile in $RR^2$.
In cosa sbaglio?
Risposte
sìsì, pardon
quindi invece di studiare il limite della funzione per vedere se è continua etc. possiamo studiare direttamente la differenziabilità della funzione in $(0,0)$ da cui far discendere la continuità e la derivabilità nel punto, no?
quindi invece di studiare il limite della funzione per vedere se è continua etc. possiamo studiare direttamente la differenziabilità della funzione in $(0,0)$ da cui far discendere la continuità e la derivabilità nel punto, no?
Esatto.
scusa magari son io che sto svampando...però mi sembra che una della definizioni di continuità per una funzione sia che il [tex]\lim_{x \to \x_0}f(x)=f(x_0)[/tex] x(vettore) e il gradiente di quella funzione soddisfava questa proprioetà, quindi si può dire che è continuo!! il limite della tua funzione fatto anche solo sull'origine(e a maggir ragione su tutto il luogo di punti) non è sempre zero...dipende da theta... infatti preso theta=asin(((4*p^2 + 1)^(1/2) - 1)/(2*p)) quel limite è uno!!!infatti quella funzione non è continua....
"ithilion6":
scusa magari son io che sto svampando...però mi sembra che una della definizioni di continuità per una funzione sia che il [tex]\lim_{x \to \x_0}f(x)=f(x_0)[/tex] x(vettore) e il gradiente di quella funzione soddisfava questa proprioetà, quindi si può dire che è continuo!! il limite della tua funzione fatto anche solo sull'origine(e a maggir ragione su tutto il luogo di punti) non è sempre zero...dipende da theta... infatti preso theta=asin(((4*p^2 + 1)^(1/2) - 1)/(2*p)) quel limite è uno!!!infatti quella funzione non è continua....
Per la funzione assegnata nel primo post il gradiente è continuo nell'origine. Ciò che stava cercando di dirti anche Sergio è però un'altra cosa: per verificare la continuità non basta andare a vedere i limiti direzionali.
L'esempio che ho scritto io ha esattamente questo scopo: in quel caso, per ogni direzione \(\theta\) (compresa quella che hai scritto tu) il limite direzionale viene nullo (del resto basta fare un disegno per convincersene).
Ciò che è vero, invece, è che
\[
\lim_{\rho\to 0+} \sup_{\theta\in [0,2\pi]} |f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)| = 1,
\]
cosa che mostra che la funzione non è continua. Vedi bene che la differenza sta nella presenza di quel \(\sup\) rispetto a \(\theta\).
non è vero che i limiti per le varie direzioni son sempre 0,quasi sempre.... ma preso theta=asin(((4*p^2 + 1)^(1/2) - 1)/(2*p)) soddisfa l'equazione y=x^2 che è verificata per ogni p(e li f vale sempre 1)!!!anche per p->0 quindi quel limite è uno!!!
Stavamo parlando di limiti direzionali (quindi su rette o semirette) o di limiti su curve qualsiasi?
Nell'esempio che ti ho fatto, per ogni direzione \(\theta\) esiste \(\rho_0>0\) tale che la restrizione \(\rho\mapsto f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\) è identicamente nulla in \((-\rho_0, \rho_0)\); il corrispondente limite direzionale è dunque nullo.
Nell'esempio che ti ho fatto, per ogni direzione \(\theta\) esiste \(\rho_0>0\) tale che la restrizione \(\rho\mapsto f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta)\) è identicamente nulla in \((-\rho_0, \rho_0)\); il corrispondente limite direzionale è dunque nullo.
il limite che si fa ponendo x=0+pcos(t) e y=0+psin(t) e mandando p->0 ti dice il valore assunto dalla funzione in TUTTI i punti che circondano l'origine...e nella tua funzione vale a seconda dei t o 1 o 0... quel valore di teta che ti ho dato fa valere la funzione 1 per QUALSIASI valore di p quindi anche per un valoro di p infinitesimo, mentre se con lo stesso procedimento fai il limite su quel gradiente, vedrai che assume lo stesso valore indipendentemente da theta... se no scusa come faresti a dimostrare la continuità di una funzione in un punto?
D'accordo, mi arrendo; la scienza più di così non può (cit.).
non ci stiam proprio capendo... va beh no problem, io non ho tempo da perdere! cmq la differenza tra il mio approcio e il vostro è che voi guardate se esistono le derivate direzionali nel punto(vedete che esistono e valgono 0, cosa che non basta per la differenziabilità) poi passate alla definizione di differenziale e concludete... io oltre a trovarne il valore ne dismostro la continuità!! infatti TEOREMA: se [tex]f_x ,f_y[/tex] esistono continue in un intorno del punto (x0,y0) allora f è differenziabile nel punto!
"ithilion6":
non ci stiam proprio capendo... va beh no problem, io non ho tempo da perdere!
Neanche Rigel! (nè Sergio, robe92, Trimalcionbe ed io)Ti consiglio di cambiare atteggiamento (non serve rispondere).
hai ragion anche tu... è stato un post un po' arrogante!solo che ho domani l'esame e mi viene l'ansia a sentire gente che smonta le mie teorie xD
p.s. mi scuso ,ma credo ancora di aver ragione!
p.s. mi scuso ,ma credo ancora di aver ragione!
"ithilion6":
non ci stiam proprio capendo... va beh no problem, io non ho tempo da perdere! cmq la differenza tra il mio approcio e il vostro è che voi guardate se esistono le derivate direzionali nel punto(vedete che esistono e valgono 0, cosa che non basta per la differenziabilità) poi passate alla definizione di differenziale e concludete... io oltre a trovarne il valore ne dismostro la continuità!! infatti TEOREMA: se [tex]f_x ,f_y[/tex] esistono continue in un intorno del punto (x0,y0) allora f è differenziabile nel punto!
Il problema è che valutare la continuità delle derivate in un punto non è sempre semplice e non è sempre conveniente.
Infatti, se vuoi usare il tuo teorema "tappabuchi", devi calcolare due limiti, i.e. \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f_x(x,y)\) e \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f_y(x,y)\) (sempre ammesso che ciò si possa fare), che possono essere anche ostici; mentre per valutare la differenziabilità serve calcolare un solo limite, i.e. \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \frac{f(x,y)-f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}\), che può essere difficile ma almeno è uno solo.
è quello che ho fatto, con le cordinate polari riesci tranquillamente, avevo anche postato il calcolo e risultato di [tex]f_x[/tex]a titolo di esempio!
Ho capito (e l'hanno capito pure gli altri).
Il fatto è che il "metodo tappabuchi" in generale è meno efficiente della semplice e diretta verifica della definizione, ecco tutto...
Il fatto è che il "metodo tappabuchi" in generale è meno efficiente della semplice e diretta verifica della definizione, ecco tutto...
allora non avevo capito che l'avevan capito xD!! son d'accordo anch'io che il metodo classico è il più efficente, però avevo pensato e l'ho voluto sperimentare!!!
"ithilion6":
allora non avevo capito che l'avevan capito xD!!
Cerca di non sottovalutare gli altri... C'è gente molto esperta che gira sul forum.
Non mi permetterei mai, ogniuno ha la sua visione delle cose e so bene che ogniuno di voi possiede qualcosa che potrebbe arricchirmi(matematicamente parlando)!!
E già... Ti arricchiscono anche gli utenti che usano forme arcaiche per i pronomi indefiniti.
@ithilion6: va bene, ci provo un'ultima volta.
Il teorema da te citato, nella forma
è corretto (e nessuno lo ha mai messo in dubbio). Che poi sia preferibile usare questo teorema o direttamente la definizione di differenziabilità è un altro tipo di discorso.
Ciò che è stato messo in dubbio (diciamo, perché è falso) è il fatto che per verificare la continuità di una funzione (in questo caso le derivate parziali) in un punto, sia sufficiente verificare che tutti i limiti direzionali coincidano col valore della funzione nel punto.
Spero che adesso sia tutto chiaro.
Il teorema da te citato, nella forma
Sia \(f: \Omega\to\mathbb{R}\), \(\Omega\subset\mathbb{R}^2\) aperto, una funzione derivabile parzialmente in \(\Omega\), con derivate parziali continue in \((x_0,y_0)\in\Omega\). Allora \(f\) è differenziabile in \((x_0, y_0)\).
è corretto (e nessuno lo ha mai messo in dubbio). Che poi sia preferibile usare questo teorema o direttamente la definizione di differenziabilità è un altro tipo di discorso.
Ciò che è stato messo in dubbio (diciamo, perché è falso) è il fatto che per verificare la continuità di una funzione (in questo caso le derivate parziali) in un punto, sia sufficiente verificare che tutti i limiti direzionali coincidano col valore della funzione nel punto.
Spero che adesso sia tutto chiaro.
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