Esercizio su Differenziabilità
Un esercizio cita :
" studiare la differenziabilità della funzione $f(x,y)= {((xactan(xy))/(x^2+y^2), (x,y)!= (0,0)) ,( 0 \se (x,y)=(0,0))}"
Per prima cosa ho studiato la continuità ed è continua.
Poi ho studiato la continuità di $f_x$ . Ho calcolato $f_x$ e ho trovato che il suo Dominio è : $AA (x,y) !=(0,0) $, ho calcolato poi $f_x(0,0) $ e ho trovato che esiste (ho calcolato il $lim_(t to 0) (f(t,0)-f(0,0))/t = 0$ ) e quindi $f_x $ continua in ogni x.
Analogamente per $f_y$.
Allora per il teorema del differenziale totale ( " Se $F:A to RR$ ha derivate parziali prime in $A$ e sono continue in $x_0 $allora$ F$ è differenziale in$ x_0$")e ho che la funzione è differenziabile in $RR^2$ .
Ho fatto bene?
" studiare la differenziabilità della funzione $f(x,y)= {((xactan(xy))/(x^2+y^2), (x,y)!= (0,0)) ,( 0 \se (x,y)=(0,0))}"
Per prima cosa ho studiato la continuità ed è continua.
Poi ho studiato la continuità di $f_x$ . Ho calcolato $f_x$ e ho trovato che il suo Dominio è : $AA (x,y) !=(0,0) $, ho calcolato poi $f_x(0,0) $ e ho trovato che esiste (ho calcolato il $lim_(t to 0) (f(t,0)-f(0,0))/t = 0$ ) e quindi $f_x $ continua in ogni x.
Analogamente per $f_y$.
Allora per il teorema del differenziale totale ( " Se $F:A to RR$ ha derivate parziali prime in $A$ e sono continue in $x_0 $allora$ F$ è differenziale in$ x_0$")e ho che la funzione è differenziabile in $RR^2$ .
Ho fatto bene?
Risposte
ho provato a fare il tuo esercizio, penso che si possa fare come dici tu, se le derivate sono continue allora è differenziabile, non mi tornano invece i conti con la definizione di differenziabilità (il limiter per $((h,k) ->0$) tu l'hai fatto?
no non l'ho fatto perchè richiederebbe troppi conti per questo ho utilizzato il teorema di differenziale totale.. anche se ero indecisa sulla continuità delle derivate parziali e non sapevo se come ragionamento andava bene..
Il teorema del differenziale totale vuole come ipotesi la continuità delle derivate parziali nel punto, e la loro esistenza almeno in un intorno del punto.
Evidentemente qualcuna di queste non era soddisfatta perchè quella funzione non è differenziabile nell'origine!
E comunque operativamente è sempre meglio applicare le definizione.
Evidentemente qualcuna di queste non era soddisfatta perchè quella funzione non è differenziabile nell'origine!
E comunque operativamente è sempre meglio applicare le definizione.
quindi stai dicendo che fare il limite per contrrollare che le due derivate siano continue è sbagliato(non le possiamo estendere quindi?)?è possibile dedurre dal teorema che dici tu se una funzione è differenziabile, nel sesnso che è una condizione neccessaria e sufficiente o solo sufficiente(se le derivate non sono continue posso dire che non è differenziabile?)
Non riesco a far vedere che $Lim_((x,y)->(0,0))(xarctg(xy))/(x^2+y^2)^(3/2)!=0$
[tex]$x\arctan(xy)\sim x(xy)=x^2y$[/tex]. A questo punto passa a coordinate polari.
È la stessa cosa che dire $0<=|arct(xy)|<=xy$ per $x$ e $y$ molto piccoli ($->0$)?
"matematico91":
quindi stai dicendo che fare il limite per contrrollare che le due derivate siano continue è sbagliato(non le possiamo estendere quindi?)?è possibile dedurre dal teorema che dici tu se una funzione è differenziabile, nel sesnso che è una condizione neccessaria e sufficiente o solo sufficiente(se le derivate non sono continue posso dire che non è differenziabile?)
l'esistenza delle derivate parziali è condizione necessaria ma non sufficiente. Il fantomatico teorema di cui parlo non è altro che la definizione, e quella beh, è necessaria e sufficiente ovviamente.
Non ho detto che è sbagliato quello che avete fatto, ma che dovete stare più attenti nell'usare quel teorema, perchè in questo caso siete giunti alla conclusione sbagliata!
Comunque applicando la definizione e usando lo sviluppo di Taylor $arctg(xy)=xy+o(x^2+y^2)$ si ottiene:
$g(x,y)=(x^2y)/(x^2+y^2)^(3/2)$, questa funzione vale $0$ sull'asse x, ma sulla bisettrice del primo quadrante $y=x$ assume valore costante diverso da $0$, infatti $g(x,x)=x^3/(2x^2)^(3/2)=1/(2sqrt(2))$, quindi il limite non esiste e non fa $0$, e la funzione iniziale non è differenziabile nell'origine.
si.esatto. scusami mirino06 tu hai fatto il limite per la differenziabilità?cosa ti viene?
edit: @giuly grazie per la risposta
c'è un altro modo per verificare la non differenziabilità? posso calcolare la derivata direzionale e vedere se "funziona" la regola del gradiente? se funziona allora non posso dirlo con certezza ma se non funziona allora posso sicuramente dire che non è differenziabile, corretto?
edit: @giuly grazie per la risposta
c'è un altro modo per verificare la non differenziabilità? posso calcolare la derivata direzionale e vedere se "funziona" la regola del gradiente? se funziona allora non posso dirlo con certezza ma se non funziona allora posso sicuramente dire che non è differenziabile, corretto?
"Mirino06":
È la stessa cosa che dire $0<=|arct(xy)|<=xy$ per $x$ e $y$ molto piccoli ($->0$)?
Sì.
Non riuscivo a far vedere che quel limite era $!=0$. Adesso ho capito.
Si ma il problema è che a me $lim _( (x,y)to (0 ,0)) (xactan(xy)) / ( x^2+ y^2) $ viene $0$ utilizzando il limite notevole $ lim_ (x to 0 ) (atan x)/ ( x) = 1$.
Anche perchè se fosse diverso da 0 la funzione non sarebbe continua nell'origine e quindi nemmeno differenziabile, cioè inn problema della differenziabilità in (0,0) non si porrebbe a priori !
E da qui poi che dico che è differenziabile nello $(0,0)$..
Anche perchè se fosse diverso da 0 la funzione non sarebbe continua nell'origine e quindi nemmeno differenziabile, cioè inn problema della differenziabilità in (0,0) non si porrebbe a priori !
E da qui poi che dico che è differenziabile nello $(0,0)$..
Ma che quello venga zero è ovvio, altrimenti non hai la continuità. Però il limite da calcolare per verificare la differenziabilità è il seguente
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\arctan(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}}$[/tex]
che non vale zero.
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\arctan(xy)}{(x^2+y^2)^{3/2}}$[/tex]
che non vale zero.
ed è quello che non capisco..visto che sto applicando il teorema e ottengo che per $(0,0)$ la $f_x$ non è definita a questo punto dico direttamente che non è differenziabile nell'origine per questo motivo e quindi il mio errore è stato nel calcolare quel limite perchè non calcola la continuità di $f_x$ ma la continuità di $f$ ( che è diverso) . Giusto?
Non ho capito cosa intendi. Comunque
[tex]$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{h\arctan(0)}{h^2}=0$[/tex]
per cui la derivata parziale rispetto a $x$ nell'origine è definita.
[tex]$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{h\arctan(0)}{h^2}=0$[/tex]
per cui la derivata parziale rispetto a $x$ nell'origine è definita.
Quello che non capisco è che ho applicato il teorema . Ho calcolato le discontinuità delle derivate parziali e ho trovato che il loro Dominio non è definito in $(0,0)$ ma come hai detto sopra il limite esiste e quindi nell'origine la $f_x$ è definita.
Quindi sono definite in $RR ^ 2$ quindi per il teorema è differenziabile in tutto $RR^2$.
Non riesco a capire che sbaglio c'è in questo ragionamento..
Quindi sono definite in $RR ^ 2$ quindi per il teorema è differenziabile in tutto $RR^2$.
Non riesco a capire che sbaglio c'è in questo ragionamento..
Il teorema del differenziale totale chiede la continuità delle derivate parziali nel punto!
Guarda qua, a me non sembra sia continua nell'origine la derivata rispetto a x, e comunque dovresti far vedere che il limite della funzione $f_x(x,y)$ vale $0$ nell'origine e non penso si possa fare visto che non è così, ma non mi sembra facilissimo nemmeno provare il contrario visto quanto è brutta la derivata!
Ergo la prossima volta usa la definizione che si fa molto prima e si sbaglia meno!
Quel teorema serve principalmente per classificare certi tipi di funzioni che sono differenziabili quante volte si vuole in ogni punto del loro dominio, per esempio i polinomi. Però negli esercizi serve a poco..
Guarda qua, a me non sembra sia continua nell'origine la derivata rispetto a x, e comunque dovresti far vedere che il limite della funzione $f_x(x,y)$ vale $0$ nell'origine e non penso si possa fare visto che non è così, ma non mi sembra facilissimo nemmeno provare il contrario visto quanto è brutta la derivata!
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+x*artg%28xy%29%2F%28x^2%2By^2%29Derivata parziale rispetto a x
Ergo la prossima volta usa la definizione che si fa molto prima e si sbaglia meno!
Quel teorema serve principalmente per classificare certi tipi di funzioni che sono differenziabili quante volte si vuole in ogni punto del loro dominio, per esempio i polinomi. Però negli esercizi serve a poco..
Si però utilizzare la definizione significa clcolare il $lim _ (x,y) ( f( h+x,k+y) - f(x,y) - f_x(x,y)h - f_y(x,y) k )/sqrt( (h-x)^2 + ( k-y)^2)$ e mi sembra molto più difficile da calcolare..
Per far vedere che è (o non è) differenziabile, basta calcolare $Lim_((x,y)->(0,0))(xarctg(xy))/(x^2+y^2)^(3/2)!=0$. Questo limite non è affatto difficile da calcolare (sebbene prima trovassi una difficoltà).
Sviluppi l'$arctg$ con Taylor e poi passi alle coordinate polari, come aveva suggerito ciampax.
Sviluppi l'$arctg$ con Taylor e poi passi alle coordinate polari, come aveva suggerito ciampax.
"nadia89":
Si però utilizzare la definizione significa clcolare il $lim _ (x,y) ( f( h+x,k+y) - f(x,y) - f_x(x,y)h - f_y(x,y) k )/sqrt( (h-x)^2 + ( k-y)^2)$ e mi sembra molto più difficile da calcolare..
Il limite da calcolare con la definizione è il seguente
[tex]$\lim_{(h,k)\to(x,y)}\frac{f(h+x,k+y)-f(x,y)-f_x(x,y)h-f_y(x,y)k}{\sqrt{(h-x)^2+(k-y)^2}}$[/tex]
con, in questo caso [tex]$(x,y)=(0,0)$[/tex] e, come ti ho già spiegato, [tex]$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$[/tex]
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