Esercizio su Differenziabilità
Un esercizio cita :
" studiare la differenziabilità della funzione $f(x,y)= {((xactan(xy))/(x^2+y^2), (x,y)!= (0,0)) ,( 0 \se (x,y)=(0,0))}"
Per prima cosa ho studiato la continuità ed è continua.
Poi ho studiato la continuità di $f_x$ . Ho calcolato $f_x$ e ho trovato che il suo Dominio è : $AA (x,y) !=(0,0) $, ho calcolato poi $f_x(0,0) $ e ho trovato che esiste (ho calcolato il $lim_(t to 0) (f(t,0)-f(0,0))/t = 0$ ) e quindi $f_x $ continua in ogni x.
Analogamente per $f_y$.
Allora per il teorema del differenziale totale ( " Se $F:A to RR$ ha derivate parziali prime in $A$ e sono continue in $x_0 $allora$ F$ è differenziale in$ x_0$")e ho che la funzione è differenziabile in $RR^2$ .
Ho fatto bene?
" studiare la differenziabilità della funzione $f(x,y)= {((xactan(xy))/(x^2+y^2), (x,y)!= (0,0)) ,( 0 \se (x,y)=(0,0))}"
Per prima cosa ho studiato la continuità ed è continua.
Poi ho studiato la continuità di $f_x$ . Ho calcolato $f_x$ e ho trovato che il suo Dominio è : $AA (x,y) !=(0,0) $, ho calcolato poi $f_x(0,0) $ e ho trovato che esiste (ho calcolato il $lim_(t to 0) (f(t,0)-f(0,0))/t = 0$ ) e quindi $f_x $ continua in ogni x.
Analogamente per $f_y$.
Allora per il teorema del differenziale totale ( " Se $F:A to RR$ ha derivate parziali prime in $A$ e sono continue in $x_0 $allora$ F$ è differenziale in$ x_0$")e ho che la funzione è differenziabile in $RR^2$ .
Ho fatto bene?
Risposte
Quindi in definitiva quando ( sempre per il teorema) quando ho derivate parziali continue la funzione è differenziabile quando ho che le derivate parziali in un punto non sono contiue non posso dire nulla e devo verificare differenziabilita in quel punto?
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