Esercizio su derivate - regola della catena

[BeNdErR]

Ciao a tutti, sto uscendo pazzo a risolvere questa derivata:

$d/(dx) x^(e^(x^3))$ (derivata di x^e^x^3 in caso non si leggesse)

So che devo utilizzare la regola della catena, dove $(g\circf)'(x) =D[g(f(x))] = g'(f(x))*f'(x)$, però non riesco bene a identificare la "struttura" o il verso della composizione delle funzioni...

Secondo il mio parere, alla $x$ viene applicato l'esponente $e^(x^3)$, quindi è come se avessi $f(x)=x$ e $g(x)=e^(x^3)$ che diventa $g(f(x))$. a sua volta a $g(x)$ viene applicato l'esponente $x^3$, che se lo chiamo $h(x)$ diventa $h(g(f(x)))$. A sua volta $h(x)$ viene elevato a $3$, risultando $z(h(g(f(x))))$..

di quanto ho detto però non sono assolutamente certo.. chiedo quindi il vostro aiuto a riguardo.. non c'è un modo "semplice" per trattare questo tipo di derivate, o per definire bene chi è composto a chi anche in maniera più rapida?

Grazie in anticipo per ogni suggerimento o aiuto, ciao!

[DavideGenova1]

Stai usando impropriamente il concetto di composizione di funzioni: utilizzando le composizioni che presenti si avrebbe che
$f(x)=x" "," " g(x)=e^(x^3) \Rightarrow g(f(x))=e^(x^3)$
$h(x)=x^3 => h(g(f(x)))=(e^(x^3))^3=e^(3x^3)$ ...
In $x^(e^(x^3))$ non hai semplicemente una funzione $g(f(x))$, ma una funzione $g(f(x),h(x))=f(x)^(h(x))$ dove $f(x)=x$ e $h(x)=e^(x^3)$. In casi del genere è comodo, sotto l'ipotesi che $f(x)>0$, osservare che $f(x)^(h(x))=e^(h(x)ln(f(x)))$. Utilizzando la regola della catena per derivare $e^(h(x)ln(f(x)))=e^(h(x)ln(f(x))) "d"/("d"x)(h(x)ln(f(x)))$ ottieni quindi
$"d"/("d"x) x^(e^(x^3))= "d"/("d"x) e^(e^(x^3)lnx)= e^(e^(x^3)lnx) "d"/("d"x)( e^(x^3)lnx) = e^(e^(x^3)lnx) (e^(x^3) "d"/("d"x) (lnx)+ lnx "d"/("d"x)(e^(x^3)))$
$=e^(x^3)x^(e^(x^3))(1/x+3x^2lnx)$.
Ciao e buono studio!