Esercizio Su Derivata Direzionale.
Salve a tutti, il testo dell'esercizio è il seguente:
" Si considerino le funzioni nulle nell'origine che nei punti $(x,y)!=(0,0)$ sono definite dalle seguenti leggi, e se ne studino, nell'origine, le derivate parziali e la derivata nella direzione della retta $y=x$, orientata nel verso delle x crescenti"
$f(x,y)=(x^2*y)/(x^2+y^2)$
Il mio problema sta nella derivata direzionale poichè le parziali:
$lim_(t->0)(f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0))/t$
Risulta:
$(((x_0+t)^2*y_0)/((x_0+t)^2+y_0^2)-0)/t$
Si verifica che è uguale a zero e con lo stesso metodo $lim_(t->0)(f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0))/t$ per la seconda derivata parziale.
Da qui mi blocco.
Per calcolare la derivata direzionale devo fare:
$(delf)/(delr)=((delf)/(delx))(x_0,y_0)cos (\theta)+(delf)/(dely))(x_0,y_0)sin (\theta)$
Il mio problema è che non riesco a capire quale punto devo prendere in considerazione per calcolare la derivata direzionale.
Il risultato del libro è il seguente $1/2sqrt(2)$.
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto
.
" Si considerino le funzioni nulle nell'origine che nei punti $(x,y)!=(0,0)$ sono definite dalle seguenti leggi, e se ne studino, nell'origine, le derivate parziali e la derivata nella direzione della retta $y=x$, orientata nel verso delle x crescenti"
$f(x,y)=(x^2*y)/(x^2+y^2)$
Il mio problema sta nella derivata direzionale poichè le parziali:
$lim_(t->0)(f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0))/t$
Risulta:
$(((x_0+t)^2*y_0)/((x_0+t)^2+y_0^2)-0)/t$
Si verifica che è uguale a zero e con lo stesso metodo $lim_(t->0)(f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0))/t$ per la seconda derivata parziale.
Da qui mi blocco.
Per calcolare la derivata direzionale devo fare:
$(delf)/(delr)=((delf)/(delx))(x_0,y_0)cos (\theta)+(delf)/(dely))(x_0,y_0)sin (\theta)$
Il mio problema è che non riesco a capire quale punto devo prendere in considerazione per calcolare la derivata direzionale.
Il risultato del libro è il seguente $1/2sqrt(2)$.
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto
.
Risposte
siccome in questo caso ti interessa una sola delle derivate direzionali devi semplicemente individurare il versore giusto per calcolarla lasciando perdere gli altri,
la formula generica è $lim_(t to 0) (f(x_0+tv_1,y_0+tv_2)-f(x_0,y_0))/t$
lungo la retta $y=x$ entrambe le variabili crescono con lo stesso incremento quindi il versore è $v=(1,1)$ per cui puoi calcolare
$lim_(t to 0) (f(x_0+t,y_0+t)-f(x_0,y_0))/t$
oppure se vuoi usare la formula che hai scritto tu devi notare che la bisettrice del 1° e 3° quadrante forma un angolo di $pi/4$ quindi $theta=pi/4$
la formula generica è $lim_(t to 0) (f(x_0+tv_1,y_0+tv_2)-f(x_0,y_0))/t$
lungo la retta $y=x$ entrambe le variabili crescono con lo stesso incremento quindi il versore è $v=(1,1)$ per cui puoi calcolare
$lim_(t to 0) (f(x_0+t,y_0+t)-f(x_0,y_0))/t$
oppure se vuoi usare la formula che hai scritto tu devi notare che la bisettrice del 1° e 3° quadrante forma un angolo di $pi/4$ quindi $theta=pi/4$
"walter89":
siccome in questo caso ti interessa una sola delle derivate direzionali devi semplicemente individurare il versore giusto per calcolarla lasciando perdere gli altri,
la formula generica è $lim_(t to 0) (f(x_0+tv_1,y_0+tv_2)-f(x_0,y_0))/t$
lungo la retta $y=x$ entrambe le variabili crescono con lo stesso incremento quindi il versore è $v=(1,1)$ per cui puoi calcolare
$lim_(t to 0) (f(x_0+t,y_0+t)-f(x_0,y_0))/t$
oppure se vuoi usare la formula che hai scritto tu devi notare che la bisettrice del 1° e 3° quadrante forma un angolo di $pi/4$ quindi $theta=pi/4$
Ti ringrazio, effettivamente mentre guardavo il tuo messaggio ho pensato anche io ad una soluzione come la tua, ti ringrazio ancora per aver definitivamente risolto il mio dubbio
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