Esercizio su convergenza uniforme
Stavo provando a rivedere gli appunti ma mi trovo di fronte a un esercizio che non capisco
$U_n(x)=nx(1-x^2)^n$ è il termine generale di una serie di funzioni con $x\in[0,1]$
la dispensa è: "determinare l'insieme di convergenza uniforme e totale"
Si è trovato il massimo per trovare la successione di termini di numeri reali M che la maggiori:
si trova come max (tramite derivata): $1/sqrt(2n+1)*(1-1/(2n+1))^n$
Tuttavia per applicare il criterio di conv. totale deov troovare la serie avente per termine generale M che converga...
Dopo aver provato col criterio della radice per farci vedere che non funziona il prof. ha usato un altro metodo, e qui cado in fallo non capendolo:
ha preso un intervallo $[a,1], 0 $M= s|U_n(x)|=U_n(a)$ (con s intendo sup) -ragionamento non ho capito- poi dice che la serie avente per termine generale M converge dunque per Weierstrass abbiamo convergenza uniforme dato che converge totalmente -unica cosa capita-.
Poi altro ragionamento incomprensibile, dice che spostandosi $a$ verso lo $0$ (in base a cosa dica che tenda a 0 non capisco), $M$ (che è il max) si sposta verso $0$ e dunque? Forse vuole dire che è l'intervallo di convergenza uniforme che va da 0 a 1?
Considerate che potrei (anzi sicuramente) aver fatto errori di appunti. E che non ci ho capito pressoché nulla
Vorrei proprio capire il ragionamento e m serveuna grande mano di qualcuno paziente
(l'unica cosa che so è il teorema applicato, ma il resto è un mistero).
Grazie
$U_n(x)=nx(1-x^2)^n$ è il termine generale di una serie di funzioni con $x\in[0,1]$
la dispensa è: "determinare l'insieme di convergenza uniforme e totale"
Si è trovato il massimo per trovare la successione di termini di numeri reali M che la maggiori:
si trova come max (tramite derivata): $1/sqrt(2n+1)*(1-1/(2n+1))^n$
Tuttavia per applicare il criterio di conv. totale deov troovare la serie avente per termine generale M che converga...
Dopo aver provato col criterio della radice per farci vedere che non funziona il prof. ha usato un altro metodo, e qui cado in fallo non capendolo:
ha preso un intervallo $[a,1], 0
Poi altro ragionamento incomprensibile, dice che spostandosi $a$ verso lo $0$ (in base a cosa dica che tenda a 0 non capisco), $M$ (che è il max) si sposta verso $0$ e dunque? Forse vuole dire che è l'intervallo di convergenza uniforme che va da 0 a 1?
Considerate che potrei (anzi sicuramente) aver fatto errori di appunti. E che non ci ho capito pressoché nulla
Vorrei proprio capire il ragionamento e m serveuna grande mano di qualcuno paziente
(l'unica cosa che so è il teorema applicato, ma il resto è un mistero).Grazie
Risposte
Ma stai studiando la convergenza uniforme della successione di funzioni $nx(1-x^2)^n$ o quella della serie di funzioni $sum nx(1-x^2)^n$?
Eh hai ragione è il termine generale (di una serie di funzioni), certo che se non lo specifico 
Scusami
Scusami
Va bene.
Chiaramente, la convergenza uniforme non è direttamente accessibile per le serie (difatti, studiare la c.u. di una serie equivale a studiare la c.u. delle sue somme parziali; tuttavia, le somme parziali di una serie non sempre si possono scrivere esplicitamente "a mano" o con altri metodi) e perciò si studia la cosiddetta convergenza totale.
Una serie di funzioni $\sum f_n(x)$ si dice totalmente convergente in $X$ se e solo se ogni addendo si può maggiorare in modulo ovunque in $X$ con una costante $M_n>=0$ e se la serie numerica $sum M_n$ risulta convergente.
Questa condizione (ed è semplice dimostrarlo) equivale a dire che la serie numerica \(\sum \sup_X |f_n|\) è convergente.
Se una serie è t.c. in $X$, allora essa è pure c.u. e c.ass. in $X$; quindi la c.t. è sufficiente alla c.u. ed alla c.ass.
Nel nostro caso, oltre a non specificare se si tratta di successioni o di serie, non specifichi nemmeno l'insieme di definizione $X$ degli addendi, quindi arrivato qui mi fermo.
Vedi un po' che puoi fare con gli indizi che ti ho dato.
Più in generale, però vorrei ricordarti che...
[xdom="gugo82"]Se vuoi porre una questione all'attenzione della community, è buona norma cercare di attenersi a quanto scritto in questo avviso.[/xdom]
Chiaramente, la convergenza uniforme non è direttamente accessibile per le serie (difatti, studiare la c.u. di una serie equivale a studiare la c.u. delle sue somme parziali; tuttavia, le somme parziali di una serie non sempre si possono scrivere esplicitamente "a mano" o con altri metodi) e perciò si studia la cosiddetta convergenza totale.
Una serie di funzioni $\sum f_n(x)$ si dice totalmente convergente in $X$ se e solo se ogni addendo si può maggiorare in modulo ovunque in $X$ con una costante $M_n>=0$ e se la serie numerica $sum M_n$ risulta convergente.
Questa condizione (ed è semplice dimostrarlo) equivale a dire che la serie numerica \(\sum \sup_X |f_n|\) è convergente.
Se una serie è t.c. in $X$, allora essa è pure c.u. e c.ass. in $X$; quindi la c.t. è sufficiente alla c.u. ed alla c.ass.
Nel nostro caso, oltre a non specificare se si tratta di successioni o di serie, non specifichi nemmeno l'insieme di definizione $X$ degli addendi, quindi arrivato qui mi fermo.
Vedi un po' che puoi fare con gli indizi che ti ho dato.
Più in generale, però vorrei ricordarti che...
[xdom="gugo82"]Se vuoi porre una questione all'attenzione della community, è buona norma cercare di attenersi a quanto scritto in questo avviso.[/xdom]
Devi davvero scusarmi per il post iniziale.
Purtroppo sono stato poco chiaro, tuttavia non per pigrizia piuttosto proprio perché sono poco chiari gli appunti e sto cercando di venirne fuori, spero potrai scusarmi per questa violazione delle linee guida.
Cerco di rattoppare, con questo tuo aiuto, alle mancanze.
Va specificato che la dispensa è: "determinare l'insieme di convergenza uniforme e totale"
Inoltre non ho scritto che $x\in[0,1]$
Dovrebbe esserci tutto.
Stando al tuo consiglio, più o meno, ci ero arrivato. Il punto è che l'$M_n$ di cui parli ha per limite infinito n->infinito, dunque non è rispettata la condizione necessaria per la concergenza della serie.
Da qui il ragionamento del prof che non mi è chiaro: dice che da un certo punto in poi sicuramente è decrescente, inoltre all'aumentare di $n$ i massimi si spostano verso 0 (ricordando che x vive in [0,1]) quindi conclude che scegliento $[a,1], 0
Grazie ancora per la tua pazienza e il tuo aiuto.
Purtroppo sono stato poco chiaro, tuttavia non per pigrizia piuttosto proprio perché sono poco chiari gli appunti e sto cercando di venirne fuori, spero potrai scusarmi per questa violazione delle linee guida.
Cerco di rattoppare, con questo tuo aiuto, alle mancanze.
Va specificato che la dispensa è: "determinare l'insieme di convergenza uniforme e totale"
Inoltre non ho scritto che $x\in[0,1]$
Dovrebbe esserci tutto.
Stando al tuo consiglio, più o meno, ci ero arrivato. Il punto è che l'$M_n$ di cui parli ha per limite infinito n->infinito, dunque non è rispettata la condizione necessaria per la concergenza della serie.
Da qui il ragionamento del prof che non mi è chiaro: dice che da un certo punto in poi sicuramente è decrescente, inoltre all'aumentare di $n$ i massimi si spostano verso 0 (ricordando che x vive in [0,1]) quindi conclude che scegliento $[a,1], 0
Grazie ancora per la tua pazienza e il tuo aiuto.
Allora, ricapitolando...
Il testo dell'esercizio, faticosamente ricostruito per interpolazione da fonti più oscure degli scritti etruschi, potrebbe essere:
Si vede che la serie converge puntualmente in tutto $X$. Infatti, se $x=0,1$ allora gli addendi sono tutti nulli; mentre se $0
Studiamo la convergenza totale. Per determinare \(M_n := \sup_X |f_n| = \max_[0,1] nx(1-x^2)^n\) possiamo usare le solite tecniche di Calcolo Differenziale: abbiamo:
\[
f_n^\prime = n (1-x^2)^n - 2n^2x^2 (1-x^2)^{n-1} = n(1-x^2)^{n-1} \Big( 1- (2n+1) x^2 \Big)\geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad 1-(2n+1)x^2 \geq 0
\]
ossia per $0< x <= 1/sqrt(2n+1)$; pertanto $f_n$ prende massimo in $x_n:= 1/sqrt(2n+1)$ e tale massimo è:
\[
M_n = f_n(x_n) = \frac{n}{\sqrt{2n+1}}\ \left( 1 - \frac{1}{2n+1}\right)^n\; .
\]
Dato che $M_n \to +\infty$ per $n\to +\infty$, non è soddisfatta la Condizione Necessaria per la convergenza della serie numerica $\sum M_n$, cosicché la serie di funzioni assegnata non converge totalmente in $X$.
Possiamo però chiederci se esistano sottoinsiemi di $X$ nei quali la serie converga totalmente.
Per capire come possono esser fatti tali insiemi, analizziamo il comportamento dei punti di massimo di $f_n$, i.e. della successione $x_n=1/sqrt(2n+1)$. Semplici considerazioni mostrano che tale successione si accumula verso $0$ (perché $x_n\to 0$), dunque, se vogliamo cercare di recuperare convergenza totale, possiamo cercare di escludere un intorno completo del punto $0$ (di accumulazione per i punti "brutti").
Consideriamo dunque un intervallo $[a,1]\subseteq X$ (quindi con $0= nu$, la funzione $f_n$ è strettamente decrescente in $[a,1]$ e prende (necessariamente) massimo assoluto in $a$, tale massimo essendo:
\[
M_n(a) := f_n(a) = na(1-a^2)^n\; ;
\]
dato che $M_n(a)\to 0$ per $n\to oo$ con ordine di infinitesimo infinitamente elevato, la serie $\sum M_n(a)$ risulta convergente e perciò la serie di funzioni $\sum f_n(x)$ è totalmente convergente in $[a,1]$.
Questo ragionamento mostra che $sum f_n$ converge totalmente (e dunque anche uniformemente) in ogni intervallo del tipo $[a,1]$ con $0
Possiamo ulteriormente raffinare questo risultato: infatti, possiamo affermare che se $Y$ è un sottoinsieme di $X$ che ha \(0< inf Y <1\), allora la convergenza della serie $\sum f_n(x)$ è totale in $Y$.
Per renderci conto di questo fatto, basta osservare che \(0 < \inf Y <1\) equivale a dire che $Y\subseteq [a,1]$ con \(0< a=\inf Y <1\); pertanto, la convergenza totale della serie in $[a,1]$ importa la medesima convergenza in $Y$.
Il testo dell'esercizio, faticosamente ricostruito per interpolazione da fonti più oscure degli scritti etruschi, potrebbe essere:
Studiare la convergenza della serie:
\[
\sum_{n=1}^\infty nx(1-x^2)^n
\]
in $X=[0,1]$, determinando gli insiemi nei quali tale convergenza è uniforme.
Si vede che la serie converge puntualmente in tutto $X$. Infatti, se $x=0,1$ allora gli addendi sono tutti nulli; mentre se $0
Studiamo la convergenza totale. Per determinare \(M_n := \sup_X |f_n| = \max_[0,1] nx(1-x^2)^n\) possiamo usare le solite tecniche di Calcolo Differenziale: abbiamo:
\[
f_n^\prime = n (1-x^2)^n - 2n^2x^2 (1-x^2)^{n-1} = n(1-x^2)^{n-1} \Big( 1- (2n+1) x^2 \Big)\geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad 1-(2n+1)x^2 \geq 0
\]
ossia per $0< x <= 1/sqrt(2n+1)$; pertanto $f_n$ prende massimo in $x_n:= 1/sqrt(2n+1)$ e tale massimo è:
\[
M_n = f_n(x_n) = \frac{n}{\sqrt{2n+1}}\ \left( 1 - \frac{1}{2n+1}\right)^n\; .
\]
Dato che $M_n \to +\infty$ per $n\to +\infty$, non è soddisfatta la Condizione Necessaria per la convergenza della serie numerica $\sum M_n$, cosicché la serie di funzioni assegnata non converge totalmente in $X$.
Possiamo però chiederci se esistano sottoinsiemi di $X$ nei quali la serie converga totalmente.
Per capire come possono esser fatti tali insiemi, analizziamo il comportamento dei punti di massimo di $f_n$, i.e. della successione $x_n=1/sqrt(2n+1)$. Semplici considerazioni mostrano che tale successione si accumula verso $0$ (perché $x_n\to 0$), dunque, se vogliamo cercare di recuperare convergenza totale, possiamo cercare di escludere un intorno completo del punto $0$ (di accumulazione per i punti "brutti").
Consideriamo dunque un intervallo $[a,1]\subseteq X$ (quindi con $0
\[
M_n(a) := f_n(a) = na(1-a^2)^n\; ;
\]
dato che $M_n(a)\to 0$ per $n\to oo$ con ordine di infinitesimo infinitamente elevato, la serie $\sum M_n(a)$ risulta convergente e perciò la serie di funzioni $\sum f_n(x)$ è totalmente convergente in $[a,1]$.
Questo ragionamento mostra che $sum f_n$ converge totalmente (e dunque anche uniformemente) in ogni intervallo del tipo $[a,1]$ con $0
Possiamo ulteriormente raffinare questo risultato: infatti, possiamo affermare che se $Y$ è un sottoinsieme di $X$ che ha \(0< inf Y <1\), allora la convergenza della serie $\sum f_n(x)$ è totale in $Y$.
Per renderci conto di questo fatto, basta osservare che \(0 < \inf Y <1\) equivale a dire che $Y\subseteq [a,1]$ con \(0< a=\inf Y <1\); pertanto, la convergenza totale della serie in $[a,1]$ importa la medesima convergenza in $Y$.
"gugo82":
Allora, ricapitolando...
Il testo dell'esercizio, faticosamente ricostruito per interpolazione da fonti più oscure degli scritti etruschi, potrebbe essere
Grazie per avermi fatto sorridere
e scusate ancora. Con 'ste serie sto impazzendo, come dicevo per la prima volta in questo anno di università mi sembra di andare la solo per copiare una lavagna senza capire nulla.Devo poi fare un'opera di reinterpretazione casalinga ogni sera/notte.
Per il resto spiegazione magistrale, ho capito.
grazie!
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