Esercizio su convergenza uniforme
Ciao a tutti. Devo studiare la convergenza uniforme di $sen(x/n)$ in $RR$. Ho già provato, usando il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata, che c'è conv. unif. in qualsiasi intervallo limitato. Ma per quelli illimitati, voi come procedereste ?
Grazie
Grazie
Risposte
Se, ad esempio, devi studiare la convergenza uniforme su tutto \(\mathbb{R}\), vedi subito che, per ogni \(n\),
\[
\sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x) -f(x)| = 1.
\]
(Qui \(f\equiv 0\) indica il limite puntuale della successione.)
Vedi un po' cosa cambia se al posto di \(\mathbb{R}\) hai un intervallo illimitato.
\[
\sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x) -f(x)| = 1.
\]
(Qui \(f\equiv 0\) indica il limite puntuale della successione.)
Vedi un po' cosa cambia se al posto di \(\mathbb{R}\) hai un intervallo illimitato.
Ok. Ma mi hai fatto sorgere un dubbio. Perché non si potrebbe dimostrare in questo modo che la successione non converge uniformemente in un intervallo limitato ?
Scrivi il \(\sup\) di \(|f_n-f|\) su un intervallo limitato (diciamo \([-a, a]\)) e vedi un po' cosa viene...
Se penso ad un generico $a$, scriverei che la successione $a_n = sen(-a/n) = sen(a/n) -> 0$ per $n->+oo$.
Però non vedo il perché non possa esistere anche $[-a;a]$ per il quale si possa scrivere direttamente $a_n = 1$ per ogni $n$. Il dubbio mi viene perché penso che se lo facciamo per infiniti punti $x_max$ (che è quello che avviene per $x$ appartenente ad $RR$), perché non possiamo farlo per finiti punti $x_max$ in un intervallo $[-a;a]$ ?
Spero di aver esposto chiaramente il mio dubbio
Però non vedo il perché non possa esistere anche $[-a;a]$ per il quale si possa scrivere direttamente $a_n = 1$ per ogni $n$. Il dubbio mi viene perché penso che se lo facciamo per infiniti punti $x_max$ (che è quello che avviene per $x$ appartenente ad $RR$), perché non possiamo farlo per finiti punti $x_max$ in un intervallo $[-a;a]$ ?
Spero di aver esposto chiaramente il mio dubbio
Considera \(n>a\) (tanto devi poi calcolare il limite per \(n\to +\infty\)).
Se \(|x| \leq a\) hai che \(|x|/n \leq a/n < 1\); poiché la funzione \(\sin\) è dispari e monotona crescente nell'intervallo \([-1,1]\) avrai che
\[
\sup_{x\in [-a,a]} |\sin (x/n)| = \sin(a/n).
\]
In altri termini, per \(n\) abbastanza grande non riesci a trovare un punto \(x_{max}\) dove \(|\sin(x_{max}/n)| = 1\), come invece avviene nel caso dell'intervallo illimitato.
Se \(|x| \leq a\) hai che \(|x|/n \leq a/n < 1\); poiché la funzione \(\sin\) è dispari e monotona crescente nell'intervallo \([-1,1]\) avrai che
\[
\sup_{x\in [-a,a]} |\sin (x/n)| = \sin(a/n).
\]
In altri termini, per \(n\) abbastanza grande non riesci a trovare un punto \(x_{max}\) dove \(|\sin(x_{max}/n)| = 1\), come invece avviene nel caso dell'intervallo illimitato.
Finalmente ho capito !
Grazie per la pazienza che hai avuto
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