Esercizio su campi vettoriali e integrali di linea
Ciao a tutti, ho bisogno del vostro aiuto per un esercizio su cui mi sto scervellando da ore.
Il testo dice:
Calcolare il valore dell'integrale di linea del campo vettoriale \(F(x,y)=(y^2+\frac{x+1}{(x+1)^2+(y+1)^2};x+\frac{y+1}{(x+1)^2+(y+1)^2})\) esteso alla frontiera dell'insieme \(B=\{(x,y) : x\geq 0, y\leq 0, 0\leq x^2+y^2+y, x^2+y^2\leq \sqrt{x^2+y^2}+x\}\), percorsa in verso antiorario.
Ho osservato che il campo si può decomporre nella somma di due contributi:
\(G(x,y)=(y^2;x)\)
\(H(x,y)=(\frac{x+1}{(x+1)^2+(y+1)^2};\frac{y+1}{(x+1)^2+(y+1)^2})\)
Facendo le derivate incrociate ho concluso che \(G\) non è conservativo, mentre l'integrale di linea di \(H\) è nullo su ogni curva chiusa che non circonda la singolarità \((-1,-1)\).
Ho poi osservato che la frontiera di \(B\) è una curva chiusa, poiché \(B\) è compatto, dunque l'integrale di linea di \(F\) su di essa si riduce all'integrale di linea di \(G\) su di essa, poiché la singolarità \((-1,-1)\) risulta essere esterna a \(B\) e dunque l'integrale di \(H\) si annulla.
A questo punto mi sono bloccata perché non ho idea di come parametrizzare la frontiera di \(B\).
Ho anche pensato di utilizzare il Teorema di Stokes, ma il problema si ripropone perché non so come parametrizzare \(B\).
Qualcuno mi aiuta?
Il testo dice:
Calcolare il valore dell'integrale di linea del campo vettoriale \(F(x,y)=(y^2+\frac{x+1}{(x+1)^2+(y+1)^2};x+\frac{y+1}{(x+1)^2+(y+1)^2})\) esteso alla frontiera dell'insieme \(B=\{(x,y) : x\geq 0, y\leq 0, 0\leq x^2+y^2+y, x^2+y^2\leq \sqrt{x^2+y^2}+x\}\), percorsa in verso antiorario.
Ho osservato che il campo si può decomporre nella somma di due contributi:
\(G(x,y)=(y^2;x)\)
\(H(x,y)=(\frac{x+1}{(x+1)^2+(y+1)^2};\frac{y+1}{(x+1)^2+(y+1)^2})\)
Facendo le derivate incrociate ho concluso che \(G\) non è conservativo, mentre l'integrale di linea di \(H\) è nullo su ogni curva chiusa che non circonda la singolarità \((-1,-1)\).
Ho poi osservato che la frontiera di \(B\) è una curva chiusa, poiché \(B\) è compatto, dunque l'integrale di linea di \(F\) su di essa si riduce all'integrale di linea di \(G\) su di essa, poiché la singolarità \((-1,-1)\) risulta essere esterna a \(B\) e dunque l'integrale di \(H\) si annulla.
A questo punto mi sono bloccata perché non ho idea di come parametrizzare la frontiera di \(B\).
Ho anche pensato di utilizzare il Teorema di Stokes, ma il problema si ripropone perché non so come parametrizzare \(B\).
Qualcuno mi aiuta?
Risposte
Spiegazione ancora una vota chiarissima, ti ringrazio molto 
"TeM":
si nota che \( \partial B := \gamma_1 \cup \gamma_2 \cup \gamma_3 \), dove \[ \gamma_1 : \begin{cases} x = (1 +\cos t)\cos t\\ y = (1 + \cos t)\sin t\end{cases} \; \; per \; t \in \left[\frac{3}{2}\pi, \; 2\pi\right]\,, \; \; \; \; \gamma_2 : \begin{cases} x = t \\ y = 0 \end{cases} \; \; per \; t \in [0, \, 2]\,, \\ \gamma_3 : \begin{cases} x = (- \sin t)\cos t \\ y = (- \sin t)\sin t \end{cases} \; \; per \; t \in \left[\frac{3}{2}\pi, \; 2\pi\right]\,. \] A te il proseguo dell'esercizio.
TeM come hai ottenuto quella parametrizzazione?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo