Esercizio su campi vettoriali
Ciao a tutti, avrei un problema con un esercizio sui campi vettoriali...
Vengono dati un campo vettoriale in $RR^3$, $F(x,y,z)=(x+sqrt(2)*arcsiny , sqrt(1-y^2) , z+sqrt(2)*arcsiny)$ e la superficie $\Sigma = {(x,y,z) in RR^3 : z = x+(sqrt(2)/2)*y^2 , 0 <= x <= pi/2 , 0 <= y <= sinx , y <= 1/sqrt(2) }$. Si chiede di calcolare l'integrale della forma differenziale associata al campo lungo la curva $\gamma$ che risulta essere il bordo di $\Sigma$. Io avevo pensato di utilizzare il teorema del rotore e prendere questa come parametrizzazione di $\Sigma$:
$G(u,v) = (u , v , u+(sqrt(2)/2)*v^2)$ con $(u,v) in [0,pi/2] X [0,min(sin(u),1/sqrt(2))]$
Il problema è che non so se si può seguire questa strada se il dominio dei parametri dipende, in questo caso, da $u$... se si può l'esercizio è fatto, altrimenti non saprei dove sbattere la testa. Grazie dell'aiuto
Vengono dati un campo vettoriale in $RR^3$, $F(x,y,z)=(x+sqrt(2)*arcsiny , sqrt(1-y^2) , z+sqrt(2)*arcsiny)$ e la superficie $\Sigma = {(x,y,z) in RR^3 : z = x+(sqrt(2)/2)*y^2 , 0 <= x <= pi/2 , 0 <= y <= sinx , y <= 1/sqrt(2) }$. Si chiede di calcolare l'integrale della forma differenziale associata al campo lungo la curva $\gamma$ che risulta essere il bordo di $\Sigma$. Io avevo pensato di utilizzare il teorema del rotore e prendere questa come parametrizzazione di $\Sigma$:
$G(u,v) = (u , v , u+(sqrt(2)/2)*v^2)$ con $(u,v) in [0,pi/2] X [0,min(sin(u),1/sqrt(2))]$
Il problema è che non so se si può seguire questa strada se il dominio dei parametri dipende, in questo caso, da $u$... se si può l'esercizio è fatto, altrimenti non saprei dove sbattere la testa. Grazie dell'aiuto
Risposte
Scrivere $(u,v)in[0,pi/2]xx[0,min(sin(u),1/sqrt(2))]$ non è formalmente corretto ma il procedimento che hai pensato è giusto... basta pensare al dominio sul quale integri nelle variabili $u$ e $v$ come un dominio normale.
Mmm dunque se ho capito bene il procedimento sarebbe questo:
$rotF = (sqrt(2)/sqrt(1-y^2) , 0 , - sqrt(2)/sqrt(1-y^2))$ quindi, se chiamo $\omega$ la forma associata a $F$ e $D$ il dominio normale trovato:
$\int_\gamma omega = \int_D = \int_{0}^{pi/4} (int_{0}^{sinu} -2*sqrt(2)/sqrt(1-v^2)dv)du + \int_{pi/4}^{pi/2} (int_{0}^{1/sqrt(2)} -2*sqrt(2)/sqrt(1-v^2)dv)du = -2*sqrt(2)*\int_{0}^{pi/4} u du - 2*sqrt(2)*pi^2/16 = -sqrt(2)*(pi/2 - pi^2/8)$
Se ho sbagliato i conti chiedo venia, l'importante è capire se è un procedimento corretto
$rotF = (sqrt(2)/sqrt(1-y^2) , 0 , - sqrt(2)/sqrt(1-y^2))$ quindi, se chiamo $\omega$ la forma associata a $F$ e $D$ il dominio normale trovato:
$\int_\gamma omega = \int_D
Se ho sbagliato i conti chiedo venia, l'importante è capire se è un procedimento corretto
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