Esercizio su $C_0^\infty$
Vi chiedo ancora una mano: devo far vedere che la funzione segno non ha derivata debole.
Mi sono ricondotto a dover dimostrare che non esiste una funzione $\g\in L_{loc}^1(R)$ tale che:
$\int_R g(x)\phi(x)dx=2\phi(0)$ per ogni $\phi\in C_0^\infty(R)$.
Ma da qui non riesco proprio a ricavare un assurdo. Come posso fare?
Grazie!
Mi sono ricondotto a dover dimostrare che non esiste una funzione $\g\in L_{loc}^1(R)$ tale che:
$\int_R g(x)\phi(x)dx=2\phi(0)$ per ogni $\phi\in C_0^\infty(R)$.
Ma da qui non riesco proprio a ricavare un assurdo. Come posso fare?
Grazie!
Risposte
Suggerimento: procedi per assurdo; scegli una successione di funzioni test [tex]$\varphi_n$[/tex] tali che [tex]$\varphi_n(0)=c$[/tex], [tex]$0\leq \varphi_n(x)\leq c$[/tex], [tex]$\text{supp} \varphi_{n+1} \subset \text{supp} \varphi_n$[/tex] e [tex]$\text{supp} \varphi_n$[/tex] si contrae su [tex]$0$[/tex]; applica la convergenza dominata e guadagni un'assurdo.
Grazie!
Facci sapere se sei riuscito.
Sì sì sono riuscito usando $\phi_n(x):=J(nx)$, dove
$J(x)=e^{-1/(1-x^2)}$ su ]-1,1[ e $J(x)=0$ altrove
$J(x)=e^{-1/(1-x^2)}$ su ]-1,1[ e $J(x)=0$ altrove
Esatto, l'idea era proprio quella. 
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