Esercizio su Biettività 1
Esercizio: Verificare che le due funzioni $f(x) = 2x - 3$ e $g(x) = x/3 + 5$
siano corrispondenze biunivoce da $\mathbb R$ in $\mathbb R$. Calcolare inoltre le funzioni inverse.
Per far si che una corrispondenza sia biunivoca dobbiamo dimostrare che la funzione sia iniettiva e suriettiva.
Usiamo le definizioni di iniettività per mostrare l'iniettività delle due funzioni.
$f(x_1) = f(x_2) => x_1 = x_2$
che nei nostri casi diventa:
$2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 \Rightarrow 2x_1 = 2x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$ la $f(x)$, quindi, è initiettiva.
$x_1/3 + 5 = x_2/3 + 5 \Rightarrow x_1/3 = x_2 /3 \Rightarrow x_1 = x_2$ anche la $g(x)$ è iniettiva.
Allo stesso modo usiamo la definizione di suriettività:
$\forall y \in A \exists x \in B : y = f(x)$
che applicata ai nostri casi:
$\forall y \in \mathbb R \exists x \in \mathbb R : y = 2x -3$, ci calcoliamo la $x$ per cui $x = (y + 3) / 2 \in mathbb R$ e la $f(x)$ è suriettiva
Vediamo la $g(x)$:
$\forall y \in \mathbb R \exists x \in \mathbb R : y = x/3 + 5$, calcoliamo la $x$ per cui $x = 3(y - 5) \in \mathbb R$ ed anche la $g(x)$ è suriettiva.
Entrambe le due funzioni sono iniettive e suriettive per cui possiamo calcolarci le rispettive funzioni inverse:
$f^-1(y) = (y - 3) / 2$
$g^-1(y) = 3(y - 5)$
Dovrebbe essere corretto lo svolgimento?
Avrei un dubbio, la funzione inversa alla fine è uguale alla $x$ che ci troviamo quando dimostriamo che la funzione è suriettva... è una coincidenza? In che modo possiamo capire se nel caso della suriettività quella $x$ appartenga all'insieme? Grazie
siano corrispondenze biunivoce da $\mathbb R$ in $\mathbb R$. Calcolare inoltre le funzioni inverse.
Per far si che una corrispondenza sia biunivoca dobbiamo dimostrare che la funzione sia iniettiva e suriettiva.
Usiamo le definizioni di iniettività per mostrare l'iniettività delle due funzioni.
$f(x_1) = f(x_2) => x_1 = x_2$
che nei nostri casi diventa:
$2x_1 - 3 = 2x_2 - 3 \Rightarrow 2x_1 = 2x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$ la $f(x)$, quindi, è initiettiva.
$x_1/3 + 5 = x_2/3 + 5 \Rightarrow x_1/3 = x_2 /3 \Rightarrow x_1 = x_2$ anche la $g(x)$ è iniettiva.
Allo stesso modo usiamo la definizione di suriettività:
$\forall y \in A \exists x \in B : y = f(x)$
che applicata ai nostri casi:
$\forall y \in \mathbb R \exists x \in \mathbb R : y = 2x -3$, ci calcoliamo la $x$ per cui $x = (y + 3) / 2 \in mathbb R$ e la $f(x)$ è suriettiva
Vediamo la $g(x)$:
$\forall y \in \mathbb R \exists x \in \mathbb R : y = x/3 + 5$, calcoliamo la $x$ per cui $x = 3(y - 5) \in \mathbb R$ ed anche la $g(x)$ è suriettiva.
Entrambe le due funzioni sono iniettive e suriettive per cui possiamo calcolarci le rispettive funzioni inverse:
$f^-1(y) = (y - 3) / 2$
$g^-1(y) = 3(y - 5)$
Dovrebbe essere corretto lo svolgimento?
Avrei un dubbio, la funzione inversa alla fine è uguale alla $x$ che ci troviamo quando dimostriamo che la funzione è suriettva... è una coincidenza? In che modo possiamo capire se nel caso della suriettività quella $x$ appartenga all'insieme? Grazie
Risposte
L'ho guardata velocemente, ma direi che va bene... a parte -3 nella dim. sulla suriettività e nella inversa di f che direi che è +3 no?
Si come al solito ho sbagliato a ricopiare dal foglio 
è +3 ho modificato il post iniziale grazie
è +3 ho modificato il post iniziale grazie
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