Esercizio studio maxmin per f(x) in 2 var su dominio D
Ciao, probabilmente è per colpa di qualche stupida lacuna che in questo momento non riesco ad identificare ma non riesco a venirne a capo.
Ho questo esercizio:
Calcolare i massimi e minimi della funzione
[tex]$f(x,y) = x^2-4x-y^2$[/tex] nel dominio [tex]$X = \{(x; y) \in R^2 : x^2+y^2 <= 16\}$[/tex].
Indicare se si tratta di
massimi o minimi relativi o assoluti (e perché).
Ho cominciato facendo il [tex]$\nabla f = 0$[/tex] da cui mi son ricavato il primo punto [tex]$(2,0)$[/tex], che, assieme alla matrice hessiana ho rivelato come punto di sella.
Poi ho definito la funzione lagrangiana per lo studio sulla frontiera con i moltiplicatori di Lagrange:
[tex]$L(x,y,\lambda) = x^2-4x-y^2-\lambda(x^2+y^2-16))$[/tex]
eguagliandone poi a zero la derivata
[tex]$\left\{\begin{matrix}L_x = 0\\L_y = 0\\L_\lambda = 0\end{matrix}\right.$[/tex]
Da cui ricavo i seguenti punti:
[tex]$(4,0)$[/tex] per il quale [tex]$f(x,y)=0$[/tex]
[tex]$(-4,0)$[/tex] per il quale [tex]$f(x,y)=32$[/tex] quindi un massimo assoluto
[tex]$(1,\sqrt{15})$[/tex] per il quale [tex]$f(x,y)=-18$[/tex]
[tex]$(1,-\sqrt{15})$[/tex] per il quale [tex]$f(x,y)=-18$[/tex] quindi due punti di minimo assoluto
Non riesco però a classificare il primo punto, il docente nel suo esercizio svolto dice che non è né punto di massimo né di minimo, mentre io direi che è un punto di massimo relativo dato che la funzione intorno scende.
Cosa sto sbagliando nel mio ragionamento?
Grazie in anticipo e scusate se magari ho scritto strafalcioni.
Edit: Ho aggiunto il resto del testo dell'esercizio per evitare incomprensioni.
Ho questo esercizio:
Calcolare i massimi e minimi della funzione
[tex]$f(x,y) = x^2-4x-y^2$[/tex] nel dominio [tex]$X = \{(x; y) \in R^2 : x^2+y^2 <= 16\}$[/tex].
Indicare se si tratta di
massimi o minimi relativi o assoluti (e perché).
Ho cominciato facendo il [tex]$\nabla f = 0$[/tex] da cui mi son ricavato il primo punto [tex]$(2,0)$[/tex], che, assieme alla matrice hessiana ho rivelato come punto di sella.
Poi ho definito la funzione lagrangiana per lo studio sulla frontiera con i moltiplicatori di Lagrange:
[tex]$L(x,y,\lambda) = x^2-4x-y^2-\lambda(x^2+y^2-16))$[/tex]
eguagliandone poi a zero la derivata
[tex]$\left\{\begin{matrix}L_x = 0\\L_y = 0\\L_\lambda = 0\end{matrix}\right.$[/tex]
Da cui ricavo i seguenti punti:
[tex]$(4,0)$[/tex] per il quale [tex]$f(x,y)=0$[/tex]
[tex]$(-4,0)$[/tex] per il quale [tex]$f(x,y)=32$[/tex] quindi un massimo assoluto
[tex]$(1,\sqrt{15})$[/tex] per il quale [tex]$f(x,y)=-18$[/tex]
[tex]$(1,-\sqrt{15})$[/tex] per il quale [tex]$f(x,y)=-18$[/tex] quindi due punti di minimo assoluto
Non riesco però a classificare il primo punto, il docente nel suo esercizio svolto dice che non è né punto di massimo né di minimo, mentre io direi che è un punto di massimo relativo dato che la funzione intorno scende.
Cosa sto sbagliando nel mio ragionamento?
Grazie in anticipo e scusate se magari ho scritto strafalcioni.
Edit: Ho aggiunto il resto del testo dell'esercizio per evitare incomprensioni.
Risposte
Ma che te ne frega dei punti di massimo e minimo relativo e dei punti di sella? E' un problema di ricerca di ESTREMI ASSOLUTI, com'è che questa cosa non la capisce nessuno? L'Hessiana NON ci serve a niente!
Ciao, il testo del problema lo chiede espressamente.
“Indicare se si tratta di minimi o massimi assoluti o relativi (e perché)”
e ci sono anche nei dati della soluzione, con annessa classificazione.
“Indicare se si tratta di minimi o massimi assoluti o relativi (e perché)”
e ci sono anche nei dati della soluzione, con annessa classificazione.
Beh il testo è sbagliato, e chi l'ha scritto non ha capito la differenza tra punti estremi e punti critici di una funzione. Se si cercano massimi e minimi si cercano massimi e minimi "assoluti", detti punti di estremo, (quelli relativi NON sono massimi e minimi), quando invece si cercano i "punti critici" allora si cercano i punti di massimo/minimo relativo e i punti di sella. (Da me bocciano all'orale se quando si parla di massimi e minimi uno menziona anche per sbaglio i massimi e minimi relativi).
Quindi l'esercizio chiede di "trovare i punti di estremo e i punti critici della funzione in quel dominio indentificandone la natura" (notare come usando una terminologia corretta si evita ambigutà e prolissità nel testo dell'esercizio).
Comunque, per verificare la natura di un punto critico, non ci sono metodi standard. Sull'interno del dominio si usa il metodo dell'Hessiana (quando non funziona esistono altri metodi che ora non ricordo), sulla frontiera si può passare a una funzione in una sola variabile parametrizzando la frontiera, oppure usare la definizione stessa di punto critico.
Per esempio se vuoi capire la natura di un punto critico in $(x_0, y_0)$, supponi che esso sia un massimo, devi verificare che valga:
$f(x,y)<=f(x_0, y_0)$, per qualsiasi x e y in un intorno di $(x_0,y_0)$, poi procedi a variare le coordinate x e y attorno a x_0, y_0 in un qualche modo, per esempio lineare: $x=x_0+h$, $y=x_0+k$, devi quindi verificare che:
$f(x_0+h, y_0+k)<=f(x_0, y_0)$ per qualsiasi h,k
Se ti trovi sulla frontiera devi mettere l'ulteriore vincolo
$(x_0+h)^2+(y_0+k)^2=16$
Quindi l'esercizio chiede di "trovare i punti di estremo e i punti critici della funzione in quel dominio indentificandone la natura" (notare come usando una terminologia corretta si evita ambigutà e prolissità nel testo dell'esercizio).
Comunque, per verificare la natura di un punto critico, non ci sono metodi standard. Sull'interno del dominio si usa il metodo dell'Hessiana (quando non funziona esistono altri metodi che ora non ricordo), sulla frontiera si può passare a una funzione in una sola variabile parametrizzando la frontiera, oppure usare la definizione stessa di punto critico.
Per esempio se vuoi capire la natura di un punto critico in $(x_0, y_0)$, supponi che esso sia un massimo, devi verificare che valga:
$f(x,y)<=f(x_0, y_0)$, per qualsiasi x e y in un intorno di $(x_0,y_0)$, poi procedi a variare le coordinate x e y attorno a x_0, y_0 in un qualche modo, per esempio lineare: $x=x_0+h$, $y=x_0+k$, devi quindi verificare che:
$f(x_0+h, y_0+k)<=f(x_0, y_0)$ per qualsiasi h,k
Se ti trovi sulla frontiera devi mettere l'ulteriore vincolo
$(x_0+h)^2+(y_0+k)^2=16$
Grazie mille, gentilissimo, è già un po' più chiaro.
La preparazione del docente in effetti non mi è sembrata il massimo e sopratutto molto confusionaria, sapresti darmi il titolo di un libro di testo decente per preparare Analisi II, visto anche che l'unico testo consigliatoci è introvabile e nemmeno in italiano.
La preparazione del docente in effetti non mi è sembrata il massimo e sopratutto molto confusionaria, sapresti darmi il titolo di un libro di testo decente per preparare Analisi II, visto anche che l'unico testo consigliatoci è introvabile e nemmeno in italiano.
@Vulplasir: Scusa, ma che diamine vai dicendo?
La verità
Devo sapere qualcosa a riguardo? C'è qualcosa di sbagliato?
@Vulplasir:
Anche se si potrebbe metter giù meglio, il testo dell'esercizio è chiaro, le richieste sono chiare e la terminologia adottata (immagino) sia quella, tacitamente od espressamente, concordata dal docente con gli studenti che ne hanno seguito il corso.
Si tratta di indicare i valori massimi e minimi, relativi ed assoluti, della funzione assegnata nel dominio assegnato; il che, bada bene, è diverso dalla semplice classificazione dei punti critici e dei punti di estremo relativo od assoluto, come scrivi nella tua versione alternativa del testo dell'esercizio:
Insomma, non hai letto bene l'esercizio originario, o non ne hai compreso il fine, ed hai spacciato una tua versione parziale dello stesso (parziale perchè che coglieva solo alcune delle richieste del problema originario) come se fosse il verbo di dio posto su forum...
A parziale conferma:
Inoltre le parole:
indirizzate a chi, molto probabilmente, medita su queste cose da qualche tempo in più di te, non sono il massimo della cordialità.
"xXFEDERICOXx":
Ho questo esercizio:
Calcolare i massimi e minimi della funzione $f(x,y) = x^2-4x-y^2$ nel dominio $X = \{(x; y) \in R^2 : x^2+y^2 <= 16\}$.
Indicare se si tratta di massimi o minimi relativi o assoluti (e perché).
Anche se si potrebbe metter giù meglio, il testo dell'esercizio è chiaro, le richieste sono chiare e la terminologia adottata (immagino) sia quella, tacitamente od espressamente, concordata dal docente con gli studenti che ne hanno seguito il corso.
Si tratta di indicare i valori massimi e minimi, relativi ed assoluti, della funzione assegnata nel dominio assegnato; il che, bada bene, è diverso dalla semplice classificazione dei punti critici e dei punti di estremo relativo od assoluto, come scrivi nella tua versione alternativa del testo dell'esercizio:
"Vulplasir":
Quindi l'esercizio chiede di "trovare i punti di estremo e i punti critici della funzione in quel dominio indentificandone la natura" (notare come usando una terminologia corretta si evita ambigutà e prolissità nel testo dell'esercizio).
Insomma, non hai letto bene l'esercizio originario, o non ne hai compreso il fine, ed hai spacciato una tua versione parziale dello stesso (parziale perchè che coglieva solo alcune delle richieste del problema originario) come se fosse il verbo di dio posto su forum...
A parziale conferma:
"gugo82":
@Vulplasir: Scusa, ma che diamine vai dicendo?
"Vulplasir":
La verità
Inoltre le parole:
"Vulplasir":
Beh il testo è sbagliato, e chi l'ha scritto non ha capito la differenza tra punti estremi e punti critici di una funzione.
indirizzate a chi, molto probabilmente, medita su queste cose da qualche tempo in più di te, non sono il massimo della cordialità.
Voglio aggiungere che inizialmente non avevo incluso il testo completo, che ho aggiunto in seguito dopo la prima risposta, con tanto di "Edit:". Mi spiace ci siano state delle ambiguità.
terminologia adottata (immagino) sia quella, tacitamente od espressamente, concordata dal docente con gli studenti che ne hanno seguito il corso
E' una terminologia sbagliata...io mi posso concordare con i miei studenti a chiamarli come mi pare, ma poi quando questi studenti si confrontano con altri e usano la propria terminologia (sbagliata), si crea confusione. Se uno parla di massimo e minimo di una funzione, si riferisce soltanto a quelli assoluti, e questa cosa, in tutti i messaggi che leggo sul forum, non l'ha capita nessuno (o quasi). In qualsiasi esercizio in cui c'è da trovare massimo e minimo di f in un dominio D, l'utente se ne viene fuori calcolando l'hessiana, indice del fatto che non ha capito cosa sia il massimo e minimo, nè a cosa serva l'hessiana, vedi
http://www.****.it/forum/analisi-2n/ ... renza.html
viewtopic.php?f=36&t=184036&p=8329020&hilit=massimi#p8329020
viewtopic.php?f=36&t=183230&p=8324470&hilit=massimi#p8324470
viewtopic.php?f=36&t=185517&p=8335402&hilit=massimi+hessiana#p8335402
viewtopic.php?f=36&t=183478&p=8325584&hilit=massimi+hessiana#p8325584
Non vedo perché la mia sia una versione parziale, anzi, mi sembra più completa e corretta.
"Vulplasir":terminologia adottata (immagino) sia quella, tacitamente od espressamente, concordata dal docente con gli studenti che ne hanno seguito il corso
E' una terminologia sbagliata...io mi posso concordare con i miei studenti a chiamarli come mi pare, ma poi quando questi studenti si confrontano con altri e usano la propria terminologia (sbagliata), si crea confusione. Se uno parla di massimo e minimo di una funzione, si riferisce soltanto a quelli assoluti, e questa cosa, in tutti i messaggi che leggo sul forum, non l'ha capita nessuno (o quasi).
Ti sembra non averlo capito nessuno semplicemente perchè non è come dici.
Così come si da la definizione di massimo/minimo assoluto di una funzione su un insieme, si può dare anche la definizione di massimo/minimo relativo di una funzione:
Siano $Xsubseteq RR^N$ non vuoto ed $f:X-> RR$.
Un punto $x_0 in X$ è detto punto di massimo [risp. minimo] relativo per $f$ in $X$ se e solo se esiste un intorno $I$ di $x_0$ tale che:
\[
\forall x\in X\cap I,\quad f(x)\leq f(x_0) \text{ [risp. } f(x_0)\leq f(x)\text{];}
\]
in tal caso il valore $f(x_0)$ (assunto da $f$ in $x_0$) si chiama massimo [risp. minimo] relativo per $f$.
"Vulplasir":
In qualsiasi esercizio in cui c'è da trovare massimo e minimo di f in un dominio D, l'utente se ne viene fuori calcolando l'hessiana, indice del fatto che non ha capito cosa sia il massimo e minimo, nè a cosa serva l'hessiana, vedi
http://www.****.it/forum/analisi-2n/ ... renza.html
viewtopic.php?f=36&t=184036&p=8329020&hilit=massimi#p8329020
viewtopic.php?f=36&t=183230&p=8324470&hilit=massimi#p8324470
viewtopic.php?f=36&t=185517&p=8335402&hilit=massimi+hessiana#p8335402
viewtopic.php?f=36&t=183478&p=8325584&hilit=massimi+hessiana#p8325584
Questa è un'altra obiezione, che non c'entra nulla con quello di cui parlavi in precedenza.
La minimalità nei calcoli si acquisisce facendo esercizi e riflettendo sul significato dei teoremi. Chiaramente, quando si tratta solo di determinare gli estremi assoluti della funzione in un dominio compatto (e solo in questo caso) basta guardare quali sono i valori assunti dalla funzione nei vari punti critici e confrontarli; tuttavia, negli altri casi ciò può non bastare.
Ma tutto ciò, come detto, poco c'entra con quello di cui stavo scrivendo prima.
"Vulplasir":
Non vedo perché la mia sia una versione parziale, anzi, mi sembra più completa e corretta.
Perchè semplicemente non è fedele alla richiesta originale... Hai trasformato un "mi passi il sale?" in un "dove sta il sale?".
Si da la definizione di massimo e minimo relativo, ma se si parla di "massimi e minimo" e basta, ci si riferisce solamente a quelli assoluti, senza bisogno di ulteriori specificazioni, sono quelli "relativi" che necessitano dell'aggettivo "relativo", quelli assoluti non lo necessitano. Se il testo mi dice "Determinare i massimi e minimi" e poi "Dire se sono assoluti e relativi" sbaglia grossolanamente, perché i massimi e minimi sono solo assoluti. Se io determino i massimi e minimi, ho determinato quelli assoluti, se volevi anche quelli relativi dovevi scrivere "determinare massimi e minimi assoluti e relativi", oppure come ho scritto io,ancora meglio.
Se vuoi il sale posso scriverlo come "trovare i punti di estremo e i punti critici della funzione in quel dominio indentificandone la natura e il valore", ma trovare il valore lo sa fare anche una scimmia, basta sostituire il punto trovato nella funzione.
Hai trasformato un "mi passi il sale?" in un "dove sta il sale?
Se vuoi il sale posso scriverlo come "trovare i punti di estremo e i punti critici della funzione in quel dominio indentificandone la natura e il valore", ma trovare il valore lo sa fare anche una scimmia, basta sostituire il punto trovato nella funzione.
Questa è un'altra obiezione, che non c'entra nulla con quello di cui parlavi in precedenza.
C'entra eccome, perché gli studenti pensano che "massimi e minimi" da trovare coprenda anche quelli relativi, se in un esercizio trovano "trovare massimi e minimi", trovano pure quelli "relativi", sbagliando.
Orale di analisi 2 di un mio amico:
prof: mi definisca massimi e minimi di una funzione
Studente: Innanzitutto i massimi e minimi di una funzione possono essere assoluti o relativi
prof: torni al prossimo appello
prof: mi definisca massimi e minimi di una funzione
Studente: Innanzitutto i massimi e minimi di una funzione possono essere assoluti o relativi
prof: torni al prossimo appello
"Vulplasir":
Orale di analisi 2 di un mio amico:
prof: mi definisca massimi e minimi di una funzione
Studente: Innanzitutto i massimi e minimi di una funzione possono essere assoluti o relativi
prof: torni al prossimo appello
Io mi sarei incazzato, perchè aveva sbagliato il professore a porre la domanda...
"Vulplasir":Questa è un'altra obiezione, che non c'entra nulla con quello di cui parlavi in precedenza.
C'entra eccome, perché gli studenti pensano che "massimi e minimi" da trovare coprenda anche quelli relativi, se in un esercizio trovano "trovare massimi e minimi", trovano pure quelli "relativi", sbagliando.
Non "sbagliano"; fanno solo conti inutili ai fini dell'esercizio.
Confondi una mancanza di minimalità con un errore... Ma un errore è una cosa ben diversa (e.g., studi il segno di una derivata prima e lo usi per stabilire la convessità, oppure leggi un testo e non lo capisci).
"Vulplasir":
Si da la definizione di massimo e minimo relativo, ma se si parla di "massimo e minimo" e basta, ci si riferisce solamente a quelli assoluti, senza bisogno di ulteriori specificazioni, sono quelli "relativi" che necessitano dell'aggettivo "relativo", quelli assoluti non lo necessitano. Se il testo mi dice "Determinare i massimi e minimi" e poi "Dire se sono assoluti e relativi" sbaglia grossolanamente, perché i massimi e minimi sono solo assoluti. Se io determino i massimi e minimi, ho determinato quelli assoluti, se volevi anche quelli relativi dovevi scrivere "determinare massimi e minimi assoluti e relativi", oppure come ho scritto io,ancora meglio.
Purtroppo, continui a non leggere correttamente il testo:
"xXFEDERICOXx":
Ho questo esercizio:
Calcolare i massimi e minimi della funzione $f(x,y) = x^2-4x-y^2$ nel dominio $X = \{(x; y) \in R^2 : x^2+y^2 <= 16\}$.
Indicare se si tratta di massimi o minimi relativi o assoluti (e perché).
perchè non vedi che stati commettendo lo stesso errore del tuo prof... Usi il plurale dove andrebbe usato il singolare.
"Vulplasir":Hai trasformato un "mi passi il sale?" in un "dove sta il sale?"
Se vuoi il sale posso scriverlo come "trovare i punti di estremo e i punti critici della funzione in quel dominio indentificandone la natura e il valore", ma trovare il valore lo sa fare anche una scimmia, basta sostituire il punto trovato nella funzione.
Non è lo stesso: tu lo sai, io lo so e lo capiscono anche le scimmie.
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