Esercizio studio di funzione integrale

[ymaxy]

Salve a tutti. Oggi mi è capitato questo esercizio di analisi 2:

$ f(x,y) = int_(1)^(2) e^(xyt^2) dt $

dove è richiesto il dominio, i segni, il gradiente, la matrice hessiana, i punti critici, la natura dei punti critici e l'inferiore e superiore della funzione.

Io non riesco a capire da dove partire per risolvere l'esercizio. Devo utilizzare la media integrale? non riesco proprio a venirne a capo.

Grazie mille in anticipo

[ostrogoto1]

Per lo studio di funzioni come quella proposta si puo' usare il teorema presentato a pag.1 in queste dispense (tralascia il resto):
http://www.dmf.unisalento.it/~giordano/allow_listing/integrali_parametri.pdf

Penso che le ipotesi del teorema siano esagerate rispetto alla necessita' di questo caso, ma dovrebbero essere soddisfatte.

[ymaxy]

Grazie mille, adesso provo a vedere. Comunque non sono sicuro che sia necessario trovare la primitiva dell'integrale, dato che per la risoluzione dell'esercizio non è necessario calcolarla. Però non so come comportarmi derivando, ovvero qual'e la derivata della funzione integrale.

[ostrogoto1]

No, non e' necessario trovare l'espresione esplicita della primitiva! Sfrutta il teorema della prima pagina par affermare la continuita' e la derivabilita' della funzione, nella dispensa poi si usa per sviluppare un discorso che come ti ho gia' detto non ci interessa.
Sfruttando il punto ii) del teorema (che indica come calcolare le derivate direzionali delle quali le derivate lungo gli assi sono un caso particolare) e supponendo vere le ipotesi (verificale!) le derivate in questione si calcolano cosi:

$ (partialF(x,y))/(partialx)= int_a^b(partialf(x,y,t))/(partialx)dt $


$ (partialF(x,y))/(partialy)= int_a^b(partialf(x,y,t))/(partialy)dt $

quindi nel caso in questione usando F al posto del tuo f del messaggio precedente per evitare fraintendimenti e adattarmi ai simboli usati nel teorema:

$ (partialF(x,y))/(partialx)= int_1^2yt^2e^(xyt^2)dt $

e similmente y.


Per essere chiari riscrivo il teorema in versione "compensibile" adattata al caso in questione.

Sia I intervallo di $ R $ di estremi a,b (eventualmente infiniti); sia $ f:EsubeRR^2xIrarrRR $ continua. Supponiamo che $ AA(x,y)inE $ l'integrale generalizzato
$ F(x,y)=int_a^bf(x,y,t)dt $
esista. Allora:
i) se per il punto $ p=(x_0,y_0)inE $ esistono un intorno U di p e una $ gamma:Irarr[0,+oo) $ sommabile su I tale che sia $ |f(x,y,t)|
ii) sia u un vettore di $ RR^2 $ tale che $ partial _uf(x,t) $ esista e sia continua in OXI dove O aperto in E. Se per un $ p\inO $ esistono un intorno U di p e una $ gamma:Irarr[0,+oo) $ sommabile su I tale che sia $ |partial_uf(x,t)| $ partial_uF(x,y)=int_a^bpartial_uf(x,y,t)dt $
e per i $ partial_uF $ e' anche continua in U.

[ymaxy]

Quindi mi stai dicendo che il gradiente della mia funzione è:

$ grad F(x,y)=(e^(4xy)-e^(xy),e^(4xy)-e^(xy)) $

corretto?

[ostrogoto1]

$ gradF=((partialF)/(partialx),(partialF)/(partialy))=(int_1^2yt^2e^(xyt^2)dt,int_1^2xt^2e^(xyt^2)dt) $

[ymaxy]

Si scusa hai ragione. Ho confuso le variabili:

$ int e^(f(t))*f^I(t)dt = e^(f(t))+c $

stavo ragionando con la variabile "x" e non con la "t". Però comunque a questo punto non mi sono semplificato molto la vita

[ymaxy]

Quello che sto cercando di capire in sostanza è se è possibile eliminare quell'integrale dal gradiente, dato che non riesco a risolvere l'integrale in nessun modo, se non con wolframalpha

[ostrogoto1]

A me non sembra che si possa scrivere esplicitamente una primitiva di $ intt^2e^(t^2)dt $ e d'altra parte nemmeno serve a tanto: per trovare i punti dove si annulla il gradiente e' sufficiente notare che:
$ (partialF(x,y))/(partialx)= int_1^2yt^2e^(xyt^2)dt=y*int_1^2t^2e^(xyt^2)dt $
e quindi essendo l'integrale nell'ultima espressione a destra positivo (intgranda positiva su un intervallo positivo) segue che il segno della derivata e' determinato dal segno della y davanti e la derivata si annulla per y=0.
Ragionando similmente per la derivata in y si conclude che il punto $ (0,0) $ e' il punto dove si annullano entrambe le derivate.
Tra l'altro il teorema afferma pure la continuita' delle derivate.
Per le derivate seconde prova riapplicando la formula del teorema all'espressione delle derivate prime.

p.s. guarda che la formula che hai scritto nell'ultimo messaggio non c'entra con il caso in questione perche' nell'integrale c'e' $ t^2 $ non $ 2t $.

[ymaxy]

Per quello ti dicevo che avevo fatto confusione con "x" e con "t", cioè ho fatto confusione tra di loro. Sto preparando analisi 2 e sono un po' fuso ormai

comunque il ragionamento che hai fatto è giustissimo e non ci avevo pensato. Invece avevo pensato di utilizzare il teorema della media integrale:

$ int_(1)^(2) e^(xyt^2) dt = e^(xyxi ^2) $

con $ 1
Pertanto il gradiente diventa:

$ grad f=(yxi ^2e^(xyxi ^2),x xi ^2e^(xyxi ^2)) $

L'hessiana sarà:

$ H= ( ((yxi^2)^2e^(xyxi^2) , xi ^2e^(xyxi ^2)(1+y)),(xi ^2e^(xyxi ^2)(1+y), (yxi^2)^2e^(xyxi^2))) $

Quindi ponendo il gradiente uguale al vettore nullo trovo il punto critico (0,0); dopodichè valutando la forma quadratica dell'Hessiana nel punto (0,0) trovo che:

$ H(0,0)=( ( 0 , xi^2 ),( xi ^2 , 0 ) ) $

e la forma quadratica risulta:

$ varphi (vec(u))= =2xi ^2 uv $

con

$ vec(u)=(u,v) $

dato che la forma quadratica risulta di segno indeterminato il punto (0,0) è di sella.

Potrebbe andare o è sbagliato come procedimento?

[ostrogoto1]

Le tue derivate seconde miste e la derivata seconda in y non mi tornano anche se le conclusioni su (0,0) si'...

$ H=[ (int_1^2y^2t^4e^(xyt^2)dt ," "int_1^2(1+xyt^2)t^2e^(xyt^2)dt ),( int_1^2(1+xyt^2)t^2e^(xyt^2)dt ," "int_1^2x^2t^4e^(xyt^2)dt ) ] $

$ H(0,0)=[(0,7/3),(7/3,0)] $
ed essendo $ det(H(0,0))<0 $ segue che (0,0) e' un punto di sella.

Fammi ragionare un attimo sull'applicazione del teorema della media integrale...

[ymaxy]

Partiamo dal teorema della media integrale:

Sia $ f: R(sub RR^n)->RR $ integrabile su R e si ponga l := inf f(R) e L := sup f(R). Allora esiste un $ k in RR $ con $ l<= k<=L $ tale che:

$ int_(R)^() f dm =k *m(R)=k*(L-l) $ (1)

Se la f è continua, esiste un $ bar(x0) in R $ tale che:

$ int_(R)^() fdm =f(bar(x0)) *m(R) =f(bar(x0))*(L-l) $ (2)

Ora consideriamo la nostra funzione:

$ int_(1)^(2) e^(xyt^2) dt $

Dato che non è integrabile per renderci le cose più semplici possiamo considerare il caso (2) del teorema precedente: dato che l'integrale dipende solo da t è come se avessimo una funzione $ h:R(sub RR)->RR $, pertanto prendendo come $ bar(x0)=x0 =xi $ con $ 1<=xi <=2 $, otteniamo:

$ int_(1)^(2) e^(xyt^2) dt =e^(xyxi ^2)(2-1) = e^(xyxi ^2) $

E poi tutto il procedimento visto prima. Non so se sia corretto il ragionamento però.

[ostrogoto1]

Supponiamo di avere una funzione integrabile per provare a fare i conti:
$ int_1^2e^(xt)dt=1/xe^(xt)|_1^2=1/x(e^(2x)-e^x) $ (1)
Con il teorema della media integrale:
$ int_1^2e^(xt)dt=e^(xeta) $ con $ 1 Ora per valori diversi di x la (1) e (2):
$ x=1rarr(1)=(e^2-e)" "(2)=e^eta $
quindi $ eta=ln(e^2-e) $
$ x=3rarr(1)=1/3(e^6-e^3)" "(2)=e^(3eta) $
quindi $ eta=1/3ln[(1/3(e^6-e^3)] $
e i valori di $ eta $ sono diversi al variare di x. Quindi $ eta=eta(x) $ e per questa dipendenza di $ eta $ da x quando si deriva (2) si dovrebbe avere:
$ (de^(xeta))/(dx)=(eta+xeta')e^(xeta) $
e non semplicemente $ etae^(etax) $ derivando (2) come e' stato fatto nell'esercizio.
Ammetto pero' che le derivate nell'esercizio hanno la forma giusta.

[ymaxy]

Riapro l'argomento . Ho parlato con un mio compagno di corso che mi ha accennato che è possibile aggiungere una variabile all'integrale, trasformandolo quindi in un integrale doppio, per poi passare alle coordinate polari e quindi determinare una primitiva della mia funzione. Cioè:

$ int_(1)^(2) e^(xyt^2) dt=int int_(K)^() e^(xyt^2+xyw^2)dt dw $

Non mi è chiaro però come si passi da un integrale all'altro e come si determini il nuovo insieme K su cui integrare. Qualcuno riesce a darmi qualche chiarimento?

[Frink1]

Ho fatto un esercizio simile per integrare una gaussiana (e la tua se non erro potrebbe esserlo), è un metodo standard per quel tipo di funzioni. In quel caso, il dominio $K$ era stato determinato a partire dalla definizione stessa dell'integrale:

qui sarà $ int int_(K)^() e^(xyt^2+xyw^2)dt dw=int_(1)^(2) e^(xyt^2) dt*int_(1)^(2) e^(xyw^2) dw $

Quindi $ K=[1,2]xx[1,2] $.

Poi passi in coordinate polari.

Nel mio caso, era stato necessario scomporre il dominio (un quadrato anch'esso) in un cerchio inscritto a cui si somma poi quello che rimane. L'integrale sul cerchio è calcolabile elementarmente. Al crescere poi del raggio del cerchio inscritto, la misura secondo P-J di quello che rimane si annulla, quindi si aveva che l'integrale sul cerchio uguagliava l'integrale su tuto $RR^2$

[ymaxy]

Ma ora nel passaggio alle coordinate polari gli estremi di integrazione coma variano?