Esercizio studio di funzione
Il titolo dell'esercizio è:
Data la funzione $f(x)=e^{2x}-e^x$
Calcolare:
CE, Limiti, crescere e descrescere.
Poi tracciare il grafico.
Il mio problema è questo: ho svolto l'esercizio ma non mi tornano alcune cose. Vi scrivo i procedimenti.
$C.E. = RR$
Detto questo ho calcolato i limiti, prima verso più infinito, poi verso meno infinito.
$\lim_{n \to \infty}e^{2x}-e^x$
ho posto $e^x=t$
ed ottengo
$\lim_{n \to \infty}t^2-t$
Da qui, limite che tende a meno infinito = più infinito, lim che tende a + infinito = + infinito. Tracciando gli assi posso già posso già sapere che da sinistra scenderà da + infinito e da dentra scenderà da più infinito. Detto questo ho calcolato la derivata prima della funzione, che risulta
HO PROBLEMI CON IL FORUM, CONTINUA IN UN SECONDO POST
Data la funzione $f(x)=e^{2x}-e^x$
Calcolare:
CE, Limiti, crescere e descrescere.
Poi tracciare il grafico.
Il mio problema è questo: ho svolto l'esercizio ma non mi tornano alcune cose. Vi scrivo i procedimenti.
$C.E. = RR$
Detto questo ho calcolato i limiti, prima verso più infinito, poi verso meno infinito.
$\lim_{n \to \infty}e^{2x}-e^x$
ho posto $e^x=t$
ed ottengo
$\lim_{n \to \infty}t^2-t$
Da qui, limite che tende a meno infinito = più infinito, lim che tende a + infinito = + infinito. Tracciando gli assi posso già posso già sapere che da sinistra scenderà da + infinito e da dentra scenderà da più infinito. Detto questo ho calcolato la derivata prima della funzione, che risulta
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Risposte
la derivata è:
$f'(x) = 2e^{2x}-e^x
Detto questa l'ho posta >= a zero ed ho trovato che ha radici in e^x=0, che non posso accettare, e per x>$sqrt(e)$.
Però provando a tracciare il grafico c'è qualcosa che non mi convince. Assolutamente.
$f'(x) = 2e^{2x}-e^x
Detto questa l'ho posta >= a zero ed ho trovato che ha radici in e^x=0, che non posso accettare, e per x>$sqrt(e)$.
Però provando a tracciare il grafico c'è qualcosa che non mi convince. Assolutamente.
Ad essere rigorosi si dovrebbe scrivere
$\lim_{x \to \infty}e^{2x}-e^x$
Puoi notare che
$f(x)=e^{2x}-e^x=e^x(e^x-1)$ da cui ok per il limite per $x$ tendente a $+ \infty$, invece dovresti riverificare i passaggi che ti hanno portato ad affermare che il limite per $x$ tendente a $- \infty$ valga $+ \infty$
Ricontrolla anche i passaggi che hai fatto per studiare la positività della derivata prima.
Ciao
$\lim_{x \to \infty}e^{2x}-e^x$
Puoi notare che
$f(x)=e^{2x}-e^x=e^x(e^x-1)$ da cui ok per il limite per $x$ tendente a $+ \infty$, invece dovresti riverificare i passaggi che ti hanno portato ad affermare che il limite per $x$ tendente a $- \infty$ valga $+ \infty$
Ricontrolla anche i passaggi che hai fatto per studiare la positività della derivata prima.
Ciao
Se invece di andare per $t$ raccolgo $e^x$ ottengo:
$e^x(e^x-1)$
Con ciò: $(e^x-1)$ $\sim$ $x$
per cui ottengo: $e^x(x)$
Sostituisco il $-oo$ ma viene sempre $+oo$.
$e^x(e^x-1)$
Con ciò: $(e^x-1)$ $\sim$ $x$
per cui ottengo: $e^x(x)$
Sostituisco il $-oo$ ma viene sempre $+oo$.
Ok, credo di esserci.
quando ho $xe^x$ e sostituisco il $-oo$ ottengo $-ooe^-oo$ che diventa $-oo1/e^oo$ risultato che m porta ad una forma di indecisione di tipo "oo0", se uso i logaritmi ottengo:
$e^{logxe^x}$ che mi porta a $e^{x+logx}$ ovvero $e^{-oo + 0}$, ergo $-oo$
erro?
Per quanto concerne lo studio del segno della derivata inizio e pongo:
$e^x(2e^x-1)>=0$
ed ottengo $e^x>=0$ che è sempre verificata, quindi +++++++++++
e $2e^x-1>=0$
mi porta a $x>=log(1/2)$
Non penso sia giusto perchè tirando le somme qualcosa non mi torna ancora.
Dallo studio dei limiti so che la funzione dovrebbe finire a + infinito verso l'alto nel primo quadrante
e iniziare dal basso nel 3 quadrante. studiando $g(o)$ so che la funzione passa per l'origine, quindi in minimo in $log(1/2)$ mi sembra assurdo. C'è ancora qualcosa che non mi torna!!!
quando ho $xe^x$ e sostituisco il $-oo$ ottengo $-ooe^-oo$ che diventa $-oo1/e^oo$ risultato che m porta ad una forma di indecisione di tipo "oo0", se uso i logaritmi ottengo:
$e^{logxe^x}$ che mi porta a $e^{x+logx}$ ovvero $e^{-oo + 0}$, ergo $-oo$
erro?
Per quanto concerne lo studio del segno della derivata inizio e pongo:
$e^x(2e^x-1)>=0$
ed ottengo $e^x>=0$ che è sempre verificata, quindi +++++++++++
e $2e^x-1>=0$
mi porta a $x>=log(1/2)$
Non penso sia giusto perchè tirando le somme qualcosa non mi torna ancora.
Dallo studio dei limiti so che la funzione dovrebbe finire a + infinito verso l'alto nel primo quadrante
e iniziare dal basso nel 3 quadrante. studiando $g(o)$ so che la funzione passa per l'origine, quindi in minimo in $log(1/2)$ mi sembra assurdo. C'è ancora qualcosa che non mi torna!!!
"shaducci":
...
e iniziare dal basso nel 3 quadrante. studiando $g(o)$ so che la funzione passa per l'origine, quindi in minimo in $log(1/2)$ mi sembra assurdo. C'è ancora qualcosa che non mi torna!!!
Qual'è il limite della funzione per $x$ che tende a $-oo$?
Perchè ritieni assurdo che "log(1/2)" sia un punto di minimo?
Il limite per $x->-oo=-oo£
$2e^x-1>=0$
$e^x>=1/2$
$log(e^x) >= log(1/2)$
$x >= log(1/2)$
questi sono i passaggi che mi hanno portato a quella conclusione. Non riesco a trovare l'inghippo. Sono giorni che ci penso e giorni che provo...
$2e^x-1>=0$
$e^x>=1/2$
$log(e^x) >= log(1/2)$
$x >= log(1/2)$
questi sono i passaggi che mi hanno portato a quella conclusione. Non riesco a trovare l'inghippo. Sono giorni che ci penso e giorni che provo...
$\lim_{x \to \-infty}e^{2x}-e^x$
$\lim_{x \to \-infty}e^{2x}-\lim_{x \to \-infty}e^x$ e fin qui non ci piove
$\lim_{x \to \+infty}1/e^{2x}-\lim_{x \to \+infty}1/e^x$ ti torna che quelli sopra e quelli sotto conicidiono come limiti?
ora dimmi quanto è il limite di partenza?
$\lim_{x \to \-infty}e^{2x}-\lim_{x \to \-infty}e^x$ e fin qui non ci piove
$\lim_{x \to \+infty}1/e^{2x}-\lim_{x \to \+infty}1/e^x$ ti torna che quelli sopra e quelli sotto conicidiono come limiti?
ora dimmi quanto è il limite di partenza?
Oh mamma mia. Non ci capisco più nulla. Nel terzo limite che mi hai proposto ( equivalente agli altrui )
Il risultato è 0...
Ho una confusione..., ma scusa il mio ragionamento non è corretto?
Se io volessi ragionare in $t$ ponendo $e^x=t$
$t^2-t \sim t^2$
e per tanto $-oo^2=+oo$
Cosa c'è di errato?
Il risultato è 0...
Ho una confusione..., ma scusa il mio ragionamento non è corretto?
Se io volessi ragionare in $t$ ponendo $e^x=t$
$t^2-t \sim t^2$
e per tanto $-oo^2=+oo$
Cosa c'è di errato?
Scusa la domanda
$\lim_{x \to \-infty}e^x$ secondo te quanto fa?
$\lim_{x \to \-infty}e^x$ secondo te quanto fa?
Bah fino ad ora ho avuto modo di vedere tre procedimenti che portano a risultati differenti. Non lo so più quanto fa. Prima ti avrei detto $+oo$, ora non so.
Riguardati le proprietà delle potenze altrimenti rischi di confonderti ulteriormente.
$e^-10$ vuol dire $1/e^10$
$-e^10$ e $e^-10$ non sono la stessa cosa.
$e^-10$ vuol dire $1/e^10$
$-e^10$ e $e^-10$ non sono la stessa cosa.
krek le proprietà delle potenze le conosco molto bene, qui il problema è un altro:
Secondo la logica, qualsiasi procedimento decido di intraprendere se i calcoli aritmetici sono esatti, dovrei ottenere sempre lo stesso risultato, ma qui ho ottenuto sempre risultati diversi, quello che sto chiedendo è: dov'è l'errore?Qual'è il procedimento corretto?I miei calcoli sono sbagliti?Dove erro?
Il limite che devo calcolare ai fini del mio studio di funzione è:
$\lim_{x-> -oo}e^(2x) - e^x$
Fin qua non ci piove.
Procedimento numero 1
Se io pongo
$e^x=t$
commetto un errore?
Da qui posso dire che $t^2-t \sim t^2$ ?
Se i passaggi fin qui sono corretti dire che $-oo^2=+oo$ mi sembra ovvio.
Ok, questo risultato è sbagliato, e allora: dov'è l'inghippo?
Passaggio numero 2:
$e^x(e^x-1)$
$e^x -1 \sim x$
e di conseguenza
$\lim_{x-> -oo}xe^x$
Da qui:
$e^(log(xe^x))$
e di conseguenza:
$e^(logx+x)$
Quindi
$e^(-oo+0)$
Ergo $-oo$
Se sono sbagliati, potrei sapere dov'è l'errore?
Secondo la logica, qualsiasi procedimento decido di intraprendere se i calcoli aritmetici sono esatti, dovrei ottenere sempre lo stesso risultato, ma qui ho ottenuto sempre risultati diversi, quello che sto chiedendo è: dov'è l'errore?Qual'è il procedimento corretto?I miei calcoli sono sbagliti?Dove erro?
Il limite che devo calcolare ai fini del mio studio di funzione è:
$\lim_{x-> -oo}e^(2x) - e^x$
Fin qua non ci piove.
Procedimento numero 1
Se io pongo
$e^x=t$
commetto un errore?
Da qui posso dire che $t^2-t \sim t^2$ ?
Se i passaggi fin qui sono corretti dire che $-oo^2=+oo$ mi sembra ovvio.
Ok, questo risultato è sbagliato, e allora: dov'è l'inghippo?
Passaggio numero 2:
$e^x(e^x-1)$
$e^x -1 \sim x$
e di conseguenza
$\lim_{x-> -oo}xe^x$
Da qui:
$e^(log(xe^x))$
e di conseguenza:
$e^(logx+x)$
Quindi
$e^(-oo+0)$
Ergo $-oo$
Se sono sbagliati, potrei sapere dov'è l'errore?
"shaducci":
krek le proprietà delle potenze le conosco molto bene, qui il problema è un altro:
Secondo la logica, qualsiasi procedimento decido di intraprendere se i calcoli aritmetici sono esatti, dovrei ottenere sempre lo stesso risultato, ma qui ho ottenuto sempre risultati diversi, quello che sto chiedendo è: dov'è l'errore?Qual'è il procedimento corretto?I miei calcoli sono sbagliti?Dove erro?
Il limite che devo calcolare ai fini del mio studio di funzione è:
$\lim_{x-> -oo}e^(2x) - e^x$
Fin qua non ci piove.
Procedimento numero 1
Se io pongo
$e^x=t$
commetto un errore?
Da qui posso dire che $t^2-t \sim t^2$ ?
No, non puoi dire che per $x$ che tende a $-oo$ allora $t^2-t \sim t^2$
Riguarda le regole delle potenze.
Mi puoi dire secondo te quanto fa $\lim_{x-> -oo}e^(x)$ ?
0!
ok se ora ti ripongo la domanda di prima
abbiamo che $\lim_{x \to \-infty}e^x=0$
ora possiamo anche dire quanto è questo limite $\lim_{x \to \-infty}e^{2x}= ...$
quindi ora posso dire che $\lim_{x \to \-infty}e^{2x}-e^x=...$
"krek":
$\lim_{x \to \-infty}e^{2x}-e^x$
$\lim_{x \to \-infty}e^{2x}-\lim_{x \to \-infty}e^x$ e fin qui non ci piove
$\lim_{x \to \+infty}1/e^{2x}-\lim_{x \to \+infty}1/e^x$ ti torna che quelli sopra e quelli sotto conicidiono come limiti?
ora dimmi quanto è il limite di partenza?
abbiamo che $\lim_{x \to \-infty}e^x=0$
ora possiamo anche dire quanto è questo limite $\lim_{x \to \-infty}e^{2x}= ...$
quindi ora posso dire che $\lim_{x \to \-infty}e^{2x}-e^x=...$
a questo punto direi 0!
$e^-oo$
$1/e^(+oo)$
0
$e^-oo$
$1/e^(+oo)$
0
"shaducci":
a questo punto direi 0!
$e^-oo$
$1/e^(+oo)$
0
Si è così
Ok, ma allora dov'è che ho sbagliato prima?
Ti segno punto punto dove hai tratto delle conclusioni errate.
-----------------------------
$e^x= "pomodori verdi fritti"$
oppure
$e^x= ROSSO$
neanche scrivendo questo commetti un errore, nessuno ti potrebbe dire che questo è un errore
l'errore viene subito dopo
-----------------------------
Perchè arrivi alla conclusione che puoi dire $t^2-t \sim t^2$ ? Questo è un errore.
-----------------------------
Anche se i passaggi fin qui sono sbagliati dire che $-oo^2=+oo$ mi sembra ovvio, il problema è che c'è un errore nel calcolo del limite e nel calcolo delle potenze.
Se mai "sarebbe": $e^(2*(-oo))$ e non $-oo^2$
l'inghippo è proprio da qui in su.
-----------------------------
Per quale ragione ?
-----------------------------
Dov'è la conseguenza qui non ho capito (correggimi se sbaglio) e non vedo un filo conduttore.
-----------------------------
E quindi si ritorna al primo errore sulle potenze
$e^-oo$ non è $-e^oo$
che è l'errore sulle proprietà delle potenze che ti ha fatto scrivere anche $t^2-t \sim t^2$.
-----------------------------
Ciao
-----------------------------
"shaducci":
krek le proprietà delle potenze le conosco molto bene, qui il problema è un altro:
Secondo la logica, qualsiasi procedimento decido di intraprendere se i calcoli aritmetici sono esatti, dovrei ottenere sempre lo stesso risultato, ma qui ho ottenuto sempre risultati diversi, quello che sto chiedendo è: dov'è l'errore?Qual'è il procedimento corretto?I miei calcoli sono sbagliti?Dove erro?
Il limite che devo calcolare ai fini del mio studio di funzione è:
$\lim_{x-> -oo}e^(2x) - e^x$
Fin qua non ci piove.
Procedimento numero 1
Se io pongo
$e^x=t$
commetto un errore?
$e^x= "pomodori verdi fritti"$
oppure
$e^x= ROSSO$
neanche scrivendo questo commetti un errore, nessuno ti potrebbe dire che questo è un errore
l'errore viene subito dopo
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"shaducci":
Da qui posso dire che $t^2-t \sim t^2$ ?
Perchè arrivi alla conclusione che puoi dire $t^2-t \sim t^2$ ? Questo è un errore.
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"shaducci":
Se i passaggi fin qui sono corretti dire che $-oo^2=+oo$ mi sembra ovvio.
Ok, questo risultato è sbagliato, e allora: dov'è l'inghippo?
Anche se i passaggi fin qui sono sbagliati dire che $-oo^2=+oo$ mi sembra ovvio, il problema è che c'è un errore nel calcolo del limite e nel calcolo delle potenze.
Se mai "sarebbe": $e^(2*(-oo))$ e non $-oo^2$
l'inghippo è proprio da qui in su.
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"shaducci":
Passaggio numero 2:
$e^x(e^x-1)$
$e^x -1 \sim x$
Per quale ragione ?
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"shaducci":
e di conseguenza
$\lim_{x-> -oo}xe^x$
Da qui:
$e^(log(xe^x))$
e di conseguenza:
$e^(logx+x)$
Dov'è la conseguenza qui non ho capito (correggimi se sbaglio) e non vedo un filo conduttore.
-----------------------------
"shaducci":
Quindi
$e^(-oo+0)$
Ergo $-oo$
Se sono sbagliati, potrei sapere dov'è l'errore?
E quindi si ritorna al primo errore sulle potenze
$e^-oo$ non è $-e^oo$
che è l'errore sulle proprietà delle potenze che ti ha fatto scrivere anche $t^2-t \sim t^2$.
-----------------------------
Ciao
Per quanto riguarda l'asintotico:
$(t^2-t)/t^2$
$(t^2(1-1/t))/t^2=1$
Per quanto riguarda l'ultimo passaggio:
$e^(log(xe^x))$
$e^(log(x)+log(e^x))
$e^(log(x)+x)$
$(t^2-t)/t^2$
$(t^2(1-1/t))/t^2=1$
Per quanto riguarda l'ultimo passaggio:
$e^(log(xe^x))$
$e^(log(x)+log(e^x))
$e^(log(x)+x)$
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