Esercizio strano integrale di superficie. Dubbi.. qualche idea?

[21zuclo]

Ciao a tutti.. mi è capitato questo esercizio ma ho solamente una vaga idea di come fare e non so se è corretto. Aiutatemi per favore.

Sia $\Sigma$ l'insieme ottenuto ruotando di un giro completo intorno all'asse $y$ il sostegno della curva
$ \gamma(t)=(\sin^3(t), \cos^3(t),0)^T $ con $t\in [0,\pi/2]$
Si determini una superficie regolare $\phi$ con sostegno \( \phi \ast = \Sigma \) e se ne calcoli l'area.

allora come ho pensato di risolvere l'esercizio

siccome ho questa curva $ \gamma(t)=(\sin^3(t), \cos^3(t),0)^T $ in forma parametrica..

l'ho espressa in forma cartesiana.. e cioè $ z=x^(2/3)+y^(2/3)-1 $

allora così ho pensato alla solita formula $ { ( x=u ),( y=v ),( z=u^(2/3)+v^(2/3)-1 ):} $

che poi in realtà
l'integrale di superficie di una funzione è dalla formula $ \int_(A) \sqrt(||\gradf||^2+1)dxdy $

ove in questo caso la mia $ f(x,y)=x^(2/3)+y^(2/3)-1 $

ORA.. bisogna fare così?.. non lo so..

Qualche altra idea?

[Quinzio]

Per la soluzione secondo me dovresti usare il teorema di Guldino
http://it.wikipedia.org/wiki/Teoremi_di ... po-Guldino

In ogni caso la forma cartesiana è : $(x^2+z^2)^(1/3) + y^(2/3) = 1$

[21zuclo]

intanto grazie.. ah il teorema di Guldino si usa anche per le curve.. non lo sapevo.. pensavo solo agli integrali doppi e/o tripli che ruotano..

Una domanda tu dici che la forma cartesiana è

"Quinzio":
In ogni caso la forma cartesiana è : $(x^2+z^2)^(1/3) + y^(2/3) = 1$

come hai fatto ad ottenerla?..
io avevo scritto $z=x^(2/3)+y^(2/3)-1$, perché le coordinate della curva erano $ \gamma(t)=((\sin^3t),(\cos^3t),(0)) $