Esercizio "strano" equazioni differenziali

[ale88]

Ciao a tutti! l'altro giorno mi sono imbattuta in un esercizio mai visto sulle equazioni differenziali :

Data l'equazione differenziale y'' + P(x)y' +Q(x)=0, P(x) e Q(x) derivabili su R, si supponga che il determinante Wronskiano di una coppia di soluzioni di tale equazione valga (1 + x^2) : determinare P(x).

io non ho la minima idea di come posso procedere...l'unica cosa che sono riuscita a fare è trovarmi la coppia di soluzioni....qualche suggerimento? o qualche teorema che mi possa servire?

grazie in anticipo :)

[ciampax]

Sostanzialmente devi lavorare "al contrario" usando la definizione di Wronskiano e scrivendo qualche equazione da risolvere. Suppongo che l'equazione che stai analizzando sia questa

[math]y''+P(x)\cdot y'+Q(x)\cdot y=0[/math]

e non quella che hai scritto (manca una y), o sbaglio?

Per prima cosa, chiamiamo le soluzioni dell'equazione

[math]y_1(x),\ y_2(x)[/math]

: per il Wronskiano si ha

[math]y_1\cdot y_2'-y_1'\cdot y_2=1+x^2[/math]

Ora, osserva che devi anche avere

[math]y_i''+P\cdot y_i'+Q=0\qquad i=1,2[/math]

per cui ricaviamo il valore di P

[math]P=\frac{y_2 y_1''-y_1 y_2''}{y_1 y_2'-y_1' y_2}[/math]

Osserva ora che

[math](y_1 y_2'-y_1' y_2)'=y_1' y_2'+y_1 y_2''-y_1'' y_2-y_1' y_2'=\\
=y_1 y_2''-y_1'' y_2=2x[/math]

e quindi

[math]P(x)=\frac{-2x}{1+x^2}[/math]

[Studente Anonimo]

Quoto la risposta di ciampax. :)

Qualora potesse tornare utile, faccio presente che a pag.52 dell'Apostol,
Calcolo volume terzo, si trova la dimostrazione del teorema secondo cui:

se

[math]\small u_1(x),\,\dots,\,u_n(x)\\[/math]

sono soluzione dell'equazione differenziale

[math]y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+\dots +P_n(x)y=0\\[/math]

in un
intervallo

[math]J[/math]

, allora il wronskiano

[math]\small w(x)=\det(W(x))\\[/math]

di

[math]u_1(x),\,\dots,\,u_n(x)\\[/math]

soddisfa l'equazione differenziale

[math]w' + P_1(x)w = 0\\[/math]

su

[math]J[/math]

(equazione valida anche se

[math]u_1(x),\,\dots,\,u_n(x)\\[/math]

non sono linearmente indipendenti).


Ecco, una volta a conoscenza di tale dimostrazione è sufficiente "ritagliarla"
opportunamente per risolvere questo esercizio in maniera semi-automatica. ;)

[ale88]

Ragazzi grazie mille!! comunque si ciampax mi sono dimenticata una y sulla tastiera XD l'equazione che avevo è quella che poi hai scritto tu...ancora grazie mille!!