Esercizio spazi normati

[fede161]

Sto cercando di risolvere questo esercizio;

Dice: nello spazio di banach $ L^2 ([0,1]) $ si consideri l'operatore lineare $ V:f(x)toV(x)f(x) $ $ AA f in L^2([0,1]) $
dove

$ V(x)= { ( x),( 1-x ):} $

nel pirmo caso se $ 0<=x<=1/2 $
nel secondo caso se $ 1/2<=x<=1 $

A) Si domostri che V è limitato.

Il libro lo risolve così:

L'operatore è limitato in quanto per ogni $ f in L^2 ([0,1]) $

$ ||Vf||^2= int_0^1|V(x)f(x)|^2dx<=Sup_(x in[0,1])|V(x)|^2int_0^1|f(x)|^2dx = 1/4||f||^2 $

Ecco... per quale motivo viene fuori 1/4 ???

Se devo considerare il sup dell'insieme non potrebbe essere anche $1^2$ invece di 1/2 ??

[gugo82]

Dato che \(V\) è positiva continua in \([0,1]\), la funzione \(|V|^2=V^2\) ha massimo assoluto in \([0,1]\) e non è difficile constatare che \(\max V^2= V^2(1/2)=(1/2)^2=1/4\).