Esercizio spazi metrici.

[_GaS_11]

Stabilire se il seguente insieme , dotato della metrica euclidea, e' aperto, chiuso, limitato.
$E:={vec (x)inRR^2; 1 SOLUZIONE.
Si tratta del segmento con le ascisse tra '' 1 '' e '' 2 '', e l'ordinata uguale a '' 3 ''.
In sintesi:
$diamE=1$. Quindi '' $E$ '' e' limitato.
Poiche' '' $RR$ '' e' denso tutti i punti di '' $E$ '' sono di accumulazione. Anche gli estremi, che non gli appartengono ( e chiamiamo uno di questi '' $P$ '' ), in quanto
'' $AAr>0,EEx!=P:(x)inB(P,r)nnE$ ''. Allora gli estremi sono di accumulazione per '' $E$ ''. Dunque: $E'supE$.
Da cui: '' $E$ '' non chiuso.
Per la densita' abbiamo:
$AA(x)inE,AAr>0,B(x,r)nnE!=varphi$.
$AA(x)inE,AAr>0,B(x,r)nnE^c!=varphi$.
Quindi '' $x$ '' non e' interno ad '' $E$ ''. L'insieme non e' aperto.
L'ultima fase dell'esercizio deriva dal fatto che gli intorni in '' $RR^n$ '' hanno dimensione '' $n$ ''. Ovvero, un intorno di ogni punto di '' $E$ '' contiene anche punti di '' $E^c$ '', in quanto l'intorno e' bidimensionale. Oppure si puo' prendere un intorno monodimensionale, in questo caso, in modo da far risultare '' $E$ '' aperto? Non penso proprio.
Chiedo soltanto se quanto esposto sia corretto.

[ciampax]

Gli intorni in $RR^n$ con la metrica Euclidea sono "palle" di centro un punto e raggio $r$, per cui se vuoi proprio usare questa cosa della "dimensionalità" (che nun se po' sentì! ) il concetto è che un intorno in $RR^2$ non può essere un segmento ma un dominio (i.e. porzione del piano) aperta (in particolare, un cerchio/disco, chiamalo come preferisci).

Per il resto mi pare tutto corretto.

[_GaS_11]

Gentilissimo, ti ringrazio!
Avevo usato usato quel termine fuori luogo ( un obbrobrio in questo caso ) per far intendere il mio dubbio, ovvero dato che in '' $RR^2$ '' gli intorni sono dei '' cerchi senza contorno '' ( tanto per stuprare ancora il linguaggio matematico ) e' possibile che l'intorno di un punto di un segmento in '' $RR^2$ '' sia un intervallo nel segmento stesso ( e quindi c'e' possibilita' che l'insieme dei punti di quel segmento sia aperto )? Non e' cosi', in '' $RR^2$ '' con la metrica euclidea gli intorni '' sono cerchi senza contorno ''. Il dubbio lo hai tolto tu, e ti ringrazio.
P.S.: per il termine penso che devo correggermi cosi': gli intorni in '' $RR^n$ '' dotato della metrica euclidea sono delle ipersfere - dominio, aperte di raggio '' $r$ '' contenute in '' $RR^n$ ''. Questo e' quanto.

[ciampax]

Veramente il termine esatto per gli intorni in $RR^n$ con la metrica Euclidea è proprio "palle"!

[dissonance]

Beh comunque a me non pare tanto fuori luogo il termine "dimensione". Sempre a livello intuitivo, si capisce, ma va bene: un aperto (non vuoto) del piano è un oggetto che ha area, non può essere un segmento o un punto o una roba del genere. Chiaro che se vogliamo formalizzare a modino tutta questa roba non finiamo più: che cos'è "area"? che cos'è "dimensione"? perché il segmento ha dimensione 1 e il cerchio ha dimensione 2? eccetera eccetera.