Esercizio spazi L^p
Buonasera, credo di avere un po' di confusione in testa sull'appartenenza delle funzioni in questi spazi, e riporto qui un paio di esercizi su cui ho dei dubbi, sperando che qualcuno possa aiutarmi a fare un po' di luce:
Determinare per quali $p \in [0, +\infty]$, $u \in L^p(\Omega)$, con $\Omega =(0, +\infty)$
$u(x) = sinx/x$
Semberebbe che $u \in L^(\infty)$ perchè limitata, ma in realtà dato che non è Lebesgue-integrabile (perchè non converge l'integrale del modulo), essa non appartiene ad alcuno spazio Lp. Giusto? Mentre una cosa come $f(x)=(x+1)/x$ sullo stesso dominio, invece, appartiene solo a $L^\infty$ perchè u tende a 1,e l'integrale di tutte le potenze di u divergono in quell'insieme.
$g(x) = lnx/(x+1)$ Ma questa dunque, non capisco se appartenga o no a $L^\infty$ perchè l'integrale del modulo fa cose strane; sicuramente non a L1 perchè l'integrale diverge, mentre appartiene a L2. Oltretutto non posso dire nulla per p>2 perchè non vale la proprietà di inclusione dato che $\Omega$ non ha dimensione finita.
Infine, per a>0 ed estendendo $\Omega$ a tutto R, una cosa come
$w(t):= 1/sqrt(a^2-t^2)\chi(-a,a)(t)$
dove $\chi$ è la funzione caratteristica.
Non è Linf perchè non è limitata, è L1 perchè l'integrale converge e vale $-pi$, mentre non capisco proprio come mai non appartiene agli spazi con p>2.
Lo so sono tante domande, ma credo che le prime siano banali per voi...ringrazio anticipatamente per le risposte.
Saluti.
Determinare per quali $p \in [0, +\infty]$, $u \in L^p(\Omega)$, con $\Omega =(0, +\infty)$
$u(x) = sinx/x$
Semberebbe che $u \in L^(\infty)$ perchè limitata, ma in realtà dato che non è Lebesgue-integrabile (perchè non converge l'integrale del modulo), essa non appartiene ad alcuno spazio Lp. Giusto? Mentre una cosa come $f(x)=(x+1)/x$ sullo stesso dominio, invece, appartiene solo a $L^\infty$ perchè u tende a 1,e l'integrale di tutte le potenze di u divergono in quell'insieme.
$g(x) = lnx/(x+1)$ Ma questa dunque, non capisco se appartenga o no a $L^\infty$ perchè l'integrale del modulo fa cose strane; sicuramente non a L1 perchè l'integrale diverge, mentre appartiene a L2. Oltretutto non posso dire nulla per p>2 perchè non vale la proprietà di inclusione dato che $\Omega$ non ha dimensione finita.
Infine, per a>0 ed estendendo $\Omega$ a tutto R, una cosa come
$w(t):= 1/sqrt(a^2-t^2)\chi(-a,a)(t)$
dove $\chi$ è la funzione caratteristica.
Non è Linf perchè non è limitata, è L1 perchè l'integrale converge e vale $-pi$, mentre non capisco proprio come mai non appartiene agli spazi con p>2.
Lo so sono tante domande, ma credo che le prime siano banali per voi...ringrazio anticipatamente per le risposte.
Saluti.
Risposte
La funzione \( u(x) = \frac{\sin x}{x}\) appartiene a \( L^p(0,+\infty)\) per \( p>1\). Poiché è limitata basta infatti studiarne il comportamento per \( x\to +\infty\); per \( x\geq 1\) si ha \( |u(x)|^p \leq x^{-p} \), e quest'ultima funzione è integrabile su \([1, +\infty)\).
La funzione \(u\) non appartiene invece a \(L^p(0,+\infty)\) quando \( p\leq 1\).
La funzione \(u\) non appartiene invece a \(L^p(0,+\infty)\) quando \( p\leq 1\).
Innanzitutto grazie per la velocità, ho modificato i nomi delle funzioni, che in effetti non erano scritte "a senno".
Temo di non capire ancora: $u(x)$ è Lp per $p>1$ in tutto $\Omega$ o sulla restrizione $x>=1$ (sulla quale capirei già di più)? Perchè per Lebesgue il modulo di u(x) non converge partendo da 0, diversamente da quando accade con l'integrazione impropria di Riemann...
La funzione $u$ invece, editata ora come $f(x)$, come può appartenere a L2 se l'integrale su $\Omega$ del quadrato del modulo è infinito?
Temo di non capire ancora: $u(x)$ è Lp per $p>1$ in tutto $\Omega$ o sulla restrizione $x>=1$ (sulla quale capirei già di più)? Perchè per Lebesgue il modulo di u(x) non converge partendo da 0, diversamente da quando accade con l'integrazione impropria di Riemann...
La funzione $u$ invece, editata ora come $f(x)$, come può appartenere a L2 se l'integrale su $\Omega$ del quadrato del modulo è infinito?
\(u\) è una funzione continua e limitata, dunque \(|u|^p\) è integrabile su ogni intervallo limitato (es. \((0,1)\)).
Ti basta dunque controllare che \(|u|^p\) sia (o meno) integrabile su \((1,+\infty)\).
Ti basta dunque controllare che \(|u|^p\) sia (o meno) integrabile su \((1,+\infty)\).
Ma certo, ora è tutto più chiaro, rileggendo la risposta mi è anche tornata in mente una cosa fondamentale, ovvero che l'integrabilità e e la limitatezza e le altre proprietà devono valere quasi ovunque! Perciò credo proprio di aver capito, ora i conti tornano. Grazie per le spiegazioni, buona giornata!
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