Esercizio spazi L^p

[sapie1]

Verificare che la seguente successione converge quasi ovunque in $R$
$f_n(x)= n^(1\2)e^-(n^(3)|x|)$ n=1,2,...
Vedere inoltre per quali dei valori p=1,2,infinito essa converge in $L^p(R)$

Allora premetto che questo esercizio mi è stato spiegato oralmente in 5 minuti e non ricordo molto..quindi vi scrovo cosa ho capito
Allora il $ lim_{n \to \infty}n^(1/2)e^-(n^(3)|x|)= {=0 per x>= 0 ,+infty per x<0 $
Dunque converge q o a $RR$ per $ x in [0,+infty[$
per p=1
$|| f_n-f|| in L^1(RR) hArr ||f_n(x)-f(x)||<+infty$
$||f_n(x)-f(x)||=int_{-infty}^{+infty}|f_n(x)-f(x)|dx=int_{-infty}^{0}n^(1/2)e^(n^(3)|x|)dx+int_{0}^{+infty}n^(1/2)e^-(n^(3)|x|)dx=$
$=int_{-infty}^{0}lim_{n \to \-infty}n^(1/2)e^(n^(3)|x|)dx +int_{0}^{+infty}lim_{n \to \+infty}n^(1/2)e^-(n^(3)|x|)dx$
Ho fatto bene fino a sto punto? e poi come devo proseguire non mi ricordo come si fanno gli integrali impropri.. Devo svolgere prima il limite?
Consigliii... GRAZIE

[gugo82]

Il limite puntuale q.o. non è quello che indichi; comincia a correggere quello... Poi vediamo il resto.

[sapie1]

"gugo82":Il limite puntuale q.o. non è quello che indichi; comincia a correggere quello... Poi vediamo il resto.

Allora $lim_{n to infty} n^(1/2)e^(-n^(3)|x|)={ n^(1/2) per x=0,0per x>0,+infty per x<0$
Giusto?

[gugo82]

Ricordando Analisi I, hai:
\[
\lim_n \sqrt{n}\ e^{-n^3 |x|} =\begin{cases} +\infty &\text{, se } x=0 \\ 0 &\text{, se } x\neq 0\end{cases}
\]
quindi la tua successione converge q.o. alla funzione q.o. nulla, chiamiamola \(\omega\).

Ora, per stabilire se la convergenza è in \(L^p(\mathbb{R})\), devi andare a studiare come si comporta al limite la norma \(\| f_n-\omega\|_p = \| f_n\|_p\): se si ha \(\lim_n \| f_n-\omega\|_p =0\) allora c'è convergenza in \(L^p\), altrimenti no.
Prova un po' a vedere cosa ne viene fuori.

[sapie1]

"gugo82":Ricordando Analisi I, hai:
\[
\lim_n \sqrt{n}\ e^{-n^3 |x|} =\begin{cases} +\infty &\text{, se } x=0 \\ 0 &\text{, se } x\neq 0\end{cases}
\]
quindi la tua successione converge q.o. alla funzione q.o. nulla, chiamiamola \(\omega\).

Ora, per stabilire se la convergenza è in \(L^p(\mathbb{R})\), devi andare a studiare come si comporta al limite la norma \(\| f_n-\omega\|_p = \| f_n\|_p\): se si ha \(\lim_n \| f_n-\omega\|_p =0\) allora c'è convergenza in \(L^p\), altrimenti no.
Prova un po' a vedere cosa ne viene fuori.

Grazie per la correzione..Quindi come ho fatto io prima non va bene?
La
$||f_n||_p=int|f_n|^P dmu$ quindi mi devo calcolare l'integrale..se si dove deve essere definito?

[gugo82]

Indovina?
Stai parlando di funzioni di \(L^p(\mathbb{R})\), quindi...

E comunque prima i conti erano tutti sbagliati.
Falli ora, con più attenzione.