Esercizio Spazi di Hilbert
Dunque, scrivo qui per chiedervi se il mio ragionamento è giusto in merito a questo esercizio:
"Sia $(e_n), n=0,+-1,+-2,---$ un set ortonormale completo in uno spazio di Hilbert H e sia T l'operatore $Tf=(e_1-e_0,f)e_1$.
Trovarne autovettori ed autovalori"
Dal momento che un qualunque vettore dello spazio di Hilbert viene mandato in $ke_1$, l'unico vettore che viene mandato in se stesso è proprio $e_1$, di autovalore 1.
Questo ragionamento mi pare sbagliato dal fatto che è troppo facile! cioè non so, chiedo conferma, sto provando a fare qualche esercizio degli esami di metodi e cerco risposte ai miei dubbi.
"Sia $(e_n), n=0,+-1,+-2,---$ un set ortonormale completo in uno spazio di Hilbert H e sia T l'operatore $Tf=(e_1-e_0,f)e_1$.
Trovarne autovettori ed autovalori"
Dal momento che un qualunque vettore dello spazio di Hilbert viene mandato in $ke_1$, l'unico vettore che viene mandato in se stesso è proprio $e_1$, di autovalore 1.
Questo ragionamento mi pare sbagliato dal fatto che è troppo facile! cioè non so, chiedo conferma, sto provando a fare qualche esercizio degli esami di metodi e cerco risposte ai miei dubbi.
Risposte
Mmm, quasi tutto giusto...
L'operatore è di quelli che si chiamano "a rango finito" (ne ho parlato qui, a proposito dell'operatore aggiunto); addirittura il rango è unidimensionale, quindi la situazione è semplice semplice.
In particolare, visto che [tex]$\mathcal{R}(T) \subseteq \text{span} \{ e_1\}$[/tex], è evidente che gli autovettori corrispondenti ad autovalori non nulli (se ne esistono) stanno in [tex]$\text{span} \{ e_1\}$[/tex]; preso [tex]$f=k\ e_1 \in \text{span} \{ e_1\}$[/tex] si ha:
[tex]$Tf=kTe_1=k\langle e_1-e_0,e_1\rangle \ e_1 = k\ e_1=f$[/tex]
quindi ogni [tex]$f\in \text{span} \{ e_1\}$[/tex] è un autovettore corrispondente all'autovalore [tex]$1$[/tex].
D'altra parte, anche [tex]$0$[/tex] è un autovalore di [tex]$T$[/tex] (perchè? La risposta è immediata se hai già studiato gli operatori compatti); cosa si può dire degli autovettori corrispondenti all'autovalore nullo?
Infine, [tex]$T$[/tex] ha altri autovalori oltre a [tex]$0$[/tex] ed [tex]$1$[/tex]?
L'operatore è di quelli che si chiamano "a rango finito" (ne ho parlato qui, a proposito dell'operatore aggiunto); addirittura il rango è unidimensionale, quindi la situazione è semplice semplice.
In particolare, visto che [tex]$\mathcal{R}(T) \subseteq \text{span} \{ e_1\}$[/tex], è evidente che gli autovettori corrispondenti ad autovalori non nulli (se ne esistono) stanno in [tex]$\text{span} \{ e_1\}$[/tex]; preso [tex]$f=k\ e_1 \in \text{span} \{ e_1\}$[/tex] si ha:
[tex]$Tf=kTe_1=k\langle e_1-e_0,e_1\rangle \ e_1 = k\ e_1=f$[/tex]
quindi ogni [tex]$f\in \text{span} \{ e_1\}$[/tex] è un autovettore corrispondente all'autovalore [tex]$1$[/tex].
D'altra parte, anche [tex]$0$[/tex] è un autovalore di [tex]$T$[/tex] (perchè? La risposta è immediata se hai già studiato gli operatori compatti); cosa si può dire degli autovettori corrispondenti all'autovalore nullo?
Infine, [tex]$T$[/tex] ha altri autovalori oltre a [tex]$0$[/tex] ed [tex]$1$[/tex]?
[mod="Martino"]Sì, sta meglio in analisi. Sposto.[/mod]
Suppongo che tutti i vettori ortogonali a $e_1-e_0$ stiano nel nucleo di T in quanto $Tf=(e_1-e_0,f)e_1$ che nel caso di f ortogonali a $e_1-e_0$ danno 0. Quindi tutti i vettori del set ortonormale completo, levati $e_0$ ed $e_1$ stanno nel ker di T... sbaglio?
Esatto.
Si ha [tex]$\mathcal{N} (T) =\{ f\in H:\ \langle e_1,f\rangle =\langle e_0 ,f\rangle \} \neq \{ \mathfrak{o}\}$[/tex], quindi [tex]$0$[/tex] è un autovalore di [tex]$T$[/tex].
Ed altri autovalori, a parte [tex]$0$[/tex] ed [tex]$1$[/tex], ne esistono?
Si ha [tex]$\mathcal{N} (T) =\{ f\in H:\ \langle e_1,f\rangle =\langle e_0 ,f\rangle \} \neq \{ \mathfrak{o}\}$[/tex], quindi [tex]$0$[/tex] è un autovalore di [tex]$T$[/tex].
Ed altri autovalori, a parte [tex]$0$[/tex] ed [tex]$1$[/tex], ne esistono?
Direi di no, in quanto come hai notato gli unici autovettori corrispondenti ad autovalori non nulli devono stare nello $span(e_1)$. Ma questo sottospazio è l'autospazio relativo all'autovalore 1, quindi non può essere un autospazio relativo ad un altro autovalore, in quanto autospazi relativi a autovalori diversi sono in somma diretta.
Adesso è tempo per un...
Esercizio:
Sia [tex]$\ell^2(\mathbb{Z})$[/tex] lo spazio di Hilbert costituito dalle successioni reali bilatere [tex]$a=(a_n)_{n\in \mahtbb{Z}}$[/tex] tali che [tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2 <+\infty$[/tex] (ovviamente il prodotto scalare è definito come [tex]$\langle a,b\rangle :=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\ b_n$[/tex]).
Lo spazio [tex]$\ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] è separabile ed il sistema [tex]$\{ e^m\}_{m\in \mathbb{Z}}$[/tex], in cui [tex]$e^m:=(\delta_n^m)_{n\in \mathbb{Z}}$[/tex], è un sistema ortonormale completo.*
1. Si consideri la legge d'assegnazione:
[tex]$Ta:=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} \langle e^m-e^{m-1} ,a\rangle \ e^m$[/tex]
e si provi che essa definisce un operatore [tex]$T$[/tex] lineare e continuo di [tex]$\ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] in sé.
2. Dire se esiste qualche autovalore per [tex]$T$[/tex].
***
L'ho inventato così sul momento, quindi non credo sia difficile (ho abbozzato un po' di conti e mi pare fattibile).
__________
* Qui:
[tex]$\delta_n^m:=\begin{cases} 1&\text{, se $n=m$} \\ 0&\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]
è il simbolo di Kronecker.
Esercizio:
Sia [tex]$\ell^2(\mathbb{Z})$[/tex] lo spazio di Hilbert costituito dalle successioni reali bilatere [tex]$a=(a_n)_{n\in \mahtbb{Z}}$[/tex] tali che [tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2 <+\infty$[/tex] (ovviamente il prodotto scalare è definito come [tex]$\langle a,b\rangle :=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\ b_n$[/tex]).
Lo spazio [tex]$\ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] è separabile ed il sistema [tex]$\{ e^m\}_{m\in \mathbb{Z}}$[/tex], in cui [tex]$e^m:=(\delta_n^m)_{n\in \mathbb{Z}}$[/tex], è un sistema ortonormale completo.*
1. Si consideri la legge d'assegnazione:
[tex]$Ta:=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} \langle e^m-e^{m-1} ,a\rangle \ e^m$[/tex]
e si provi che essa definisce un operatore [tex]$T$[/tex] lineare e continuo di [tex]$\ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] in sé.
2. Dire se esiste qualche autovalore per [tex]$T$[/tex].
***
L'ho inventato così sul momento, quindi non credo sia difficile (ho abbozzato un po' di conti e mi pare fattibile).
__________
* Qui:
[tex]$\delta_n^m:=\begin{cases} 1&\text{, se $n=m$} \\ 0&\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]
è il simbolo di Kronecker.
Bah dimostrare che va da $l^2(Z)$ in se non dovrebbe essere un problema, in quanto ogni vettore a va in $ka$, ci sarebbe da dimostrare che k appartiene a Z, quindi devo dimostrare che, date due qualunque successioni bilatere a,b, tali che $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2 <+\infty$ e $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |b_n|^2 <+\infty$ allora $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n\ b_n$ è minore di infinito. Direi che si può usare tranquillamente la disuguaglianza di Schwarz per concludere.
Per dimostrare la linearità direi che si può far uso della multilinearità del prodotto scalare.
Per dimostrare che è continuo mi viene in mente la continuità del prodotto scalare.
Per quanto riguarda gli autovettori direi che $e_1$ è candidato ad esserlo visto che la funzione manda ogni vettore in $ke_1$, però non saprei dire quale è l'autovalore relativo... altri non mi vengono in mente.
Qualche aiuto? Ho cominciato ieri a studiare qualcosa di metodi matematici per la fisica quindi non sono molto preparato, essenzialmente mi rifaccio alle conoscenze della vecchia cara algebra lineare
Per dimostrare la linearità direi che si può far uso della multilinearità del prodotto scalare.
Per dimostrare che è continuo mi viene in mente la continuità del prodotto scalare.
Per quanto riguarda gli autovettori direi che $e_1$ è candidato ad esserlo visto che la funzione manda ogni vettore in $ke_1$, però non saprei dire quale è l'autovalore relativo... altri non mi vengono in mente.
Qualche aiuto? Ho cominciato ieri a studiare qualcosa di metodi matematici per la fisica quindi non sono molto preparato, essenzialmente mi rifaccio alle conoscenze della vecchia cara algebra lineare
Non è vero che [tex]$Ta=ka$[/tex]... Infatti per ogni [tex]$N\in \mathbb{Z}$[/tex] si ha [tex]$Te^N =e^N-e^{N+1}$[/tex].
Inoltre [tex]$\ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] non significa che i termini [tex]$a_n$[/tex] della generica successione [tex]$a=(a_n) \in \ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] appartengono a [tex]$\mathbb{Z}$[/tex]; significa solo che la successione [tex]$a$[/tex] è indicizzata su [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] (ossia che è una successione bilatera).
Come specificato nel testo, le successioni [tex]$a\in \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex] hanno termini reali.
Casomai lascia passare qualche giorno prima di tentare una soluzione.
Intanto familiarizza con gli esercizi di base.
Inoltre [tex]$\ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] non significa che i termini [tex]$a_n$[/tex] della generica successione [tex]$a=(a_n) \in \ell^2 (\mathbb{Z})$[/tex] appartengono a [tex]$\mathbb{Z}$[/tex]; significa solo che la successione [tex]$a$[/tex] è indicizzata su [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] (ossia che è una successione bilatera).
Come specificato nel testo, le successioni [tex]$a\in \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex] hanno termini reali.
Casomai lascia passare qualche giorno prima di tentare una soluzione.
Intanto familiarizza con gli esercizi di base.
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