Esercizio spazi di Hilbert

[Relegal]

Ciao a tutti, vorrei chiedervi una mano per risolvere il seguente esercizio:
Siano $H$ uno spazio di Hilbert e ${e_a}$ un sistema ortonormale completo.Sia ${f_a}$ un altro sistema ortonormale per $H$ tale che $sum(||e_a-f_a||^2)<+oo $. Si dimostri che anche la famiglia ${f_a}$ è massimale.

[gac1]

Io proverei a ragionare per assurdo; in tal caso, esiste $x\in H$, $x\ne 0$, tale che $ = 0$ per ogni $a$.
Se poi ti scrivi
$0 < \|x\|^2 = \sum_a ||^2 = \sum_a ||^2$,
con qualche passaggio te la dovresti cavare.

[Relegal]

"gac":Io proverei a ragionare per assurdo; in tal caso, esiste $x\in H$, $x\ne 0$, tale che $ = 0$ per ogni $a$.
Se poi ti scrivi
$0 < \|x\|^2 = \sum_a ||^2 = \sum_a ||^2$,
con qualche passaggio te la dovresti cavare.

Ti ringrazio per l'aiuto. Avevo pensato anche io di procedere per assurdo ma non riuscivo a trovare un punto di partenza che mi portasse ad una contraddizione ! Ora provo a pasticciare un pò con il tuo suggerimento, grazie ancora !

[misanino]

Anch'io mi trovo alle prese con questo esercizio e anche a me era venuta in mente la strada proposta da Gac.
Tuttavia dopo aver fatto un po' di tentativi non sono arrivato ad alcuna soluzione.
C'è qualcuno che mi può aiutare?

[gac1]

Posto $C = \sqrt{\sum_a |e_a-f_a|^2}$, dalla precedente disuguaglianza + Cauchy-Schwarz ottieni
$|x|^2 \leq C |x|$.
Adesso devi solo osservare che se $x\ne 0$ è scelto come detto nel precedente post, anche $\lambda x$, per ogni $\lambda\ne 0$, ha le stesse proprietà.

[misanino]

Forse ho capito male o interpreto male il tuo suggerimento, ma a me viene:
$|x|^2=\sum_{\alpha}||^2 <= \sum_{\alpha}|e_\alpha - f_\alpha|^2*|x|^2=D*|x|^2$
dove $D=C^2$ con C ciò che mi hai detto tu.
Quindi in definitiva:
$|x|^2<=D*|x|^2$
e quindi non so come proseguire...

[gac1]

Ops, hai ragione!
Fammi ricordare come avevo fatto...

[gac1]

Allora, vediamo un po'.
Puoi eliminare un numero finito di indici $a_1, ..., a_N$ in modo che, se $A$ era l'insieme iniziale di indice e $B = A \setminus {a_1, ..., a_N}$, si abbia
$C = \sum_{b\in B} |e_b-f_b|^2 < 1$.
A questo punto dovrebbe funzionare tutto ragionando sul sottospazio $X$ generato dagli $e_b$, $b\in B$.

[misanino]

Scusa ma non capisco.
Quali informazioni aggiuntive ho sul nuovo insieme B di indici che mi dovrebbe portare ala soluzione?
E poi a me C non viene minore di 1, bensì
$|x|^2<=C*|x|^2$ e quindi $C>=1$

[gac1]

Ma è proprio da questo che segue l'assurdo.
Tu hai una serie convergente, quindi puoi eliminare un numero finito di termine e ottenere un resto piccolo a piacere (in questo caso $<1$).
Poi tu assumi per assurdo che esista $x\ne 0$ tale che etc etc.
Arrivi alla disuguaglianza $|x|^2 \le C |x|^2$, con $C<1$, che implica necessariamente $x=0$, e qui ottieni l'assurdo.

[misanino]

Però non è la stessa C
Nel senso che la C che è più grande di 1 è $\sum_{\alpha}|e_\alpha-f_\alpha|^2$ mentre la costante che è minore di 1 è $\sum_{\beta}|e_\beta-f_\beta|^2$.
E non posso togliere degli indici $\alpha$ poichè altrimenti non vale più l'uguaglianza $|x|^2=\sum_{\alpha}||^2$ da cui sono partito per mostrare che $C>=1$

[misanino]

Scusate ma specifico meglio perchè prima mi sono espresso un po' male.
Dunque, come dici tu Gac, posso eliminare qualche indice $\alpha$ e avere un insieme $B$ tale che, detto
$C=\sum_{b\in B} |e_b-f_b|^2$ ho che $C<\epsilon$ e quindi $C<1$.
Detto invece $D=\sum_{\alpha\in A} |e_\alpha-f_alpha|^2$ ho $D>=1$ e questo non è un assurdo.
D'altra parte non riesco ad ottenere $C>=1$ poichè per ottenere la disuguaglianza che ho ottenuto con D, devo partire da $|x|^2$ e questa è
$|x|^2=\sum_{\alpha\in A} ||^2$ e non $|x|^2=\sum_{b\in B} ||^2$
Quindi, a me, il problema sembra ancora non risolto.

[gac1]

Allora, la riduzione al caso finito-dimensionale, o meglio, l'eliminazione di un numero finito di indici, richiede un po' di lavoro.
Come già scritto sopra, sia $F = \{a_1, ..., a_N\}$ un sottoinsieme finito di indici tali che, posto $B = A\setminus F$, si abbia
$C = \sum_{b\in B} |e_b - f_b| ^ 2 < 1$.
Usando l'uguaglianza di Parseval come nei precedenti post, si dimostra subito che

(1) se $x\in H$ è ortogonale sia agli $e_a$, $a\in F$, che agli $f_b$, $b\in B$, allora $x=0$.
Basta infatti scrivere
$|x|^2 = \sum_{a\in A} ||^2 = \sum_{a\in F} ||^2 + \sum_{b\in B} ||^2 \le C |x|^2$.

Adesso rimpiazziamo la famiglia finita $e_a$, $a\in F$, con i vettori
$g_a = e_a - \sum_{b\in B} f_b, a\in F$.
Usando (1), è chiaro che vale anche

(2) se $x\in H$ è ortogonale sia ai $g_a$, $a\in F$, che agli $f_b$, $b\in B$, allora $x=0$.
Infatti, se $x$ soddisfa le ipotesi di (2), allora soddisfa anche le ipotesi di (1).

Per concludere, definiamo
$X = \{x\in H: = 0 " per ogni " b\in B\}$.

Si verifica rapidamente che i vettori $g_a$, $a\in F$, appartengono al sottospazio $X$.
Più precisamente, $X$ contiene solo le combinazioni lineari di questi vettori.
Di conseguenza $X$ è uno spazio vettoriale finito-dimensionale di dimensione $\le N$.
D'altra parte, gli $f_a$, $a\in F$, sono $N$ vettori ortonormali di $X$, quindi sono anch'essi una base di $X$.
Ne consegue che i $g_a$, $a\in F$, sono combinazioni lineari degli $f_a$, $a\in F$.
Da (2) concludiamo che, se $x$ è ortogonale a tutti gli $f_a$, $a\in A$, allora $x=0$.

[misanino]

Scusami se rompo ancora,
ma l'unica cosa che non capisco è perchè $X$ debba contenere solo le combinazioni lineari dei $g_\alpha, \ \alpha\in F$

[gac1]

Da (2) sai che i $g_a$, $a\in F$, più gli $f_b$, $b\in B$, sono un sistema completo.
I vettori di $X$ sono quindi generati dai $g_a$.

[misanino]

Una sola parola: sei immenso!!!!
Non ce l'avrei mai fatta a pensare a tutta questa roba da solo.
Comunque la prossima volta che mi trovo di fronte ad un problema simile lo prendo per buono e non ci penso più.
Grazie infinitamente. Spero di poter un giorno contraccambiare.
Ciao

[Relegal]

"gac":Da (2) sai che i $g_a$, $a\in F$, più gli $f_b$, $b\in B$, sono un sistema completo.
I vettori di $X$ sono quindi generati dai $g_a$.

Ciao Gac, innanzitutto grazie dell'aiuto. Vorrei chiederti una precisazione riguardante il fatto che l'insieme $x$ è generato
dai $g_a$, $a\in F$: Per quanto provato nel punto (2) so che i $g_a$, $a\in F$, più gli $f_b$, $b\in B$ costituiscono un insieme di vettori massimale perchè l'unico vettore che posso aggiungere ortogonale a tutti i vettori sopra citati è lo zero. Non è però un sistema ortogonale perchè, se non ho sbagliato, i $g_a$, $a\in F$ non sono tra loro ortogonali. Non riesco quindi a capire come concludere che $x$ sia generato dai $g_a$, $a\in F$ !

[gac1]

Da come sono definiti (sempre che io non abbia sbagliato, si intende...) ogni $g_a$, $a\in F$, è ortogonale a tutti gli $f_b$, $b\in B$.
Quindi $g_a\in X$ per ogni $a\in F$. Gli $f_b$, $b\in B$, stanno invece in $X^\bot$.
Poiché presi tutti insieme generano tutto lo spazio $H$, i $g_a$ sono "costretti" a generare $X$ (su $X$ gli $f_b$ non possono intervenire, dal momento che stanno nello spazio ortogonale).
Non so se la spiegazione è abbastanza confusa, eventualmente posso provare a confonderla ulteriormente

[Relegal]

"gac":Da come sono definiti (sempre che io non abbia sbagliato, si intende...) ogni $g_a$, $a\in F$, è ortogonale a tutti gli $f_b$, $b\in B$.
Quindi $g_a\in X$ per ogni $a\in F$. Gli $f_b$, $b\in B$, stanno invece in $X^\bot$.
Poiché presi tutti insieme generano tutto lo spazio $H$, i $g_a$ sono "costretti" a generare $X$ (su $X$ gli $f_b$ non possono intervenire, dal momento che stanno nello spazio ortogonale).
Non so se la spiegazione è abbastanza confusa, eventualmente posso provare a confonderla ulteriormente

No no, anzi sei stato chiarissimo ! Ringraziandoti per la pazienza ho un ultimo dubbio riguardante la completezza del sistema, mi spiego: So che dato un sistema ortonormale, esso è completo se e solo se è massimale. L'ipotesi di ortonormalità del sistema penso possa essere sostituita da una un pò meno restrittiva quale la sola ortogonalità. Nel nostro caso, l'insieme costituito dai $g_a$, $a\in F$ e dagli $f_b$, $b\in B$ è massimale ma non ortogonale poichè non sono tra loro ortogonali i $g_a$, $a\in F$ pur essendo tra loro ortogonali gli $f_b$, $b\in B$, ed essendo i $g_a$, $a\in F$, ortogonali agli $f_b$, $b\in B$. Posso comunque concludere che $H$ è generato da questo sistema ?

[gac1]

Sì, direi che non c'è problema. In questo caso tu hai un sottospazio chiuso $X$ (finito dimensionale) di uno spazio di Hilbert $H$.
Ti basta trovare un sistema di generatori per $X$ e uno per $X^\bot$.

[Relegal]

"gac":Sì, direi che non c'è problema. In questo caso tu hai un sottospazio chiuso $X$ (finito dimensionale) di uno spazio di Hilbert $H$.
Ti basta trovare un sistema di generatori per $X$ e uno per $X^\bot$.

Scusa ma c'è qualcosa che non mi torna ! Allora, dopo aver dimostrato (1) e (2), abbiamo definito il sottospazio
$X := \{x\in H: = 0 " per ogni " b\in B\}$. Si verifica che i $g_a$, $a\in F$ stanno in $x$. Questo implica che il sottospazio generato dai $g_a$, $a\in F$ è contenuto in $x$. Posso scrivere anche $H=XoplusX^_|_$ e quindi $X$ è generato dai generatori di $x$ e dai generatori di $X^_|_$. Il punto è che per concludere la dimostrazione dici che $X$ è uno spazio finito-dimensionale di dimensione N. Questa affermazione però la deduci dal fatto che $X$ è generato dai $g_a$, $a\in F$, ma a me sembra che finora abbiamo concluso che i $g_a$, $a\in F$ generano un sottospazio $Y$ di $X$ e non $X$. Non riesco a vedere il fatto che $Y$ e $X$ e senza questo passaggio non posso concludere che $X$ ha dimensione finita N e di conseguenza giungere alla tesi. Spero di essere riuscito a spiegarmi in modo chiaro !