Esercizio spazi di Hilbert

[Relegal]

Ciao a tutti, vorrei chiedervi una mano per risolvere il seguente esercizio:
Siano $H$ uno spazio di Hilbert e ${e_a}$ un sistema ortonormale completo.Sia ${f_a}$ un altro sistema ortonormale per $H$ tale che $sum(||e_a-f_a||^2)<+oo $. Si dimostri che anche la famiglia ${f_a}$ è massimale.

[Relegal]

"gac":Sì, direi che non c'è problema. In questo caso tu hai un sottospazio chiuso $X$ (finito dimensionale) di uno spazio di Hilbert $H$.
Ti basta trovare un sistema di generatori per $X$ e uno per $X^\bot$.

Scusa ma c'è qualcosa che non mi torna ! Allora, dopo aver dimostrato (1) e (2), abbiamo definito il sottospazio
$X := \{x\in H: = 0 " per ogni " b\in B\}$. Si verifica che i $g_a$, $a\in F$ stanno in $x$. Questo implica che il sottospazio generato dai $g_a$, $a\in F$ è contenuto in $x$. Posso scrivere anche $H=XoplusX^_|_$ e quindi $X$ è generato dai generatori di $x$ e dai generatori di $X^_|_$. Il punto è che per concludere la dimostrazione dici che $X$ è uno spazio finito-dimensionale di dimensione N. Questa affermazione però la deduci dal fatto che $X$ è generato dai $g_a$, $a\in F$, ma a me sembra che finora abbiamo concluso che i $g_a$, $a\in F$ generano un sottospazio $Y$ di $X$ e non $X$. Non riesco a vedere il fatto che $Y$ e $X$ e senza questo passaggio non posso concludere che $X$ ha dimensione finita N e di conseguenza giungere alla tesi. Spero di essere riuscito a spiegarmi in modo chiaro !

[Relegal]

"gac":Sì, direi che non c'è problema. In questo caso tu hai un sottospazio chiuso $X$ (finito dimensionale) di uno spazio di Hilbert $H$.
Ti basta trovare un sistema di generatori per $X$ e uno per $X^\bot$.

Scusa ma c'è qualcosa che non mi torna ! Allora, dopo aver dimostrato (1) e (2), abbiamo definito il sottospazio
$X := \{x\in H: = 0 " per ogni " b\in B\}$. Si verifica che i $g_a$, $a\in F$ stanno in $x$. Questo implica che il sottospazio generato dai $g_a$, $a\in F$ è contenuto in $x$. Posso scrivere anche $H=XoplusX^_|_$ e quindi $X$ è generato dai generatori di $x$ e dai generatori di $X^_|_$. Il punto è che per concludere la dimostrazione dici che $X$ è uno spazio finito-dimensionale di dimensione N. Questa affermazione però la deduci dal fatto che $X$ è generato dai $g_a$, $a\in F$, ma a me sembra che finora abbiamo concluso che i $g_a$, $a\in F$ generano un sottospazio $Y$ di $X$ e non $X$. Non riesco a vedere il fatto che $Y$ e $X$ e senza questo passaggio non posso concludere che $X$ ha dimensione finita N e di conseguenza giungere alla tesi. Spero di essere riuscito a spiegarmi in modo chiaro !

[gac1]

Magari mi sbaglio, ma mi sembra che questi fatti portino alla conclusione:
1) $H = X \oplus X^\bot$
2) $f_b$, $b\in B$ è un sistema ortonormale completo in $X^\bot$
3) $g_a\in X$ per ogni $a\in F$
4) $g_a$, $a\in F$ e $f_b$, $b\in B$ sono un sistema di generatori per $H$