Esercizio spazi di Hilbert

fede161
Ciao ragazzi sto cercando di risolvere questo esercizio:

Trovare $ a,b,c in C $ che minimizzano il valore dell'integrale:

$ int_(-1)^(1) |x^3-a-bx-cx^2|^2 dx $

Il libro mi mette una soluzione che non riesco a capire, la riporto qui:

Le funzioni:

$ f_0(x)=1 $, $ f_1(x)=x $ , $ f_2(x)=x^2 $ , $ f_3(x)=x^3 $

definiscono degli elementi dello spazio di Hilbert $ L^2(-1,1) $ e l'integrale da minimizzare rappresenta il quadrato
della distanza tra f3 e un generico elemento del sottospazio generato da f0,f1,f2,f3.
La soluzione $ a+bx+cx^2 $ rappresenza la proiezione di f3 su tale spazio.....
E poi continua con la soluzione.

Quello che mi chiedo è: 1) Perchè quelle funzioni appartengono allo spazio di Hilbert? Non potrebbe appartenere anche $ f_4(x)=x^4 $ ?
2) potreste spiegarmi in modo informale che cosa sta cercando di fare?

Grazie mille della risposta :)

Risposte
s.stuv
L'esercizio chiede di determinare il polinomio \( g(x) = a + b x + c x^2 \) che rende minima la distanza
\[
d_{2}(f,g) := \| f - g \|_{L^2(-1,1)} = \bigg ( \int_{-1}^{1} |f(x) - g(x)|^2 \, dx \bigg )^{\frac{1}{2}},
\]
dove \( f(x) := x^3 \). Questo equivale a determinare la proiezione (in \( L^2(-1,1) \) ) di \( f \) sul sottospazio chiuso di \( L^2(-1,1) \) i cui elementi sono i polinomi di grado al più due, i.e. il sottospazio (finito-dimensionale) generato dalle funzioni \( f_{0}(x) := 1, f_{1}(x) := x, f_{2}(x) := x^2\). Per farti un'idea, mettiti nel piano \( \mathbb{R}^2 \) e considera un sottospazio vettoriale di dimensione uno (una retta passante per l'origine degli assi): se ti assegnassi un punto \( P_{*} \) qualsiasi del piano e ti chiedessi di determinare il punto \( \bar{P} \) della retta che minimizza la distanza da \( P_{*} \) tu chi prenderesti? Immagino che sceglieresti la proiezione ortogonale di \( P_{*} \) sulla retta, o sbaglio? Qui il concetto è lo stesso.
Circa la risolubilità di questo problema in uno spazio di Hilbert qualsiasi, anche di dimensione infinita, avrai studiato un teorema secondo il quale se \( \mathcal{H} \) è uno spazio di Hilbert e \( K \subset \mathcal{H} \) è un sottoinsieme convesso e chiuso, allora per ogni \( f \in \mathcal{H} \) esiste un unico elemento \( \bar{f} \in K \) tale che
\[
\| f - \bar{f} \| = \inf_{g \in K} \{\| f - g \|\}
\]
e si pone \( \bar{f} = \mathrm{P}_{K}(f) \) la proiezione di \( f \) su \( K \).

fede161
Ho letto da poco la risposta.

Ti ringrazio! Finalmente mi è chiaro cosa sta facendo... grazie davvero ! :D

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