Esercizio somma di una serie
Ciao ragazzi, sto facendo questo esercizio: devo calcolare raggio di convergenza e somma della serie (per n da 0 a infinito) $ sumx^(3n)/(2^n*n!) $
Ho calcolato il raggio di convergenza e lo trovo infinito, e fin qui ok (non sto a riportarvi tutti i passaggi). Il problema è con la somma. Io ho fatto la sostituzione $ t=x^3 $ e ho ottenuto:
$ sum(t^n*(1/2)^n)/(n!) =sum((1/2*t)^n)/(n!) =e^(1/2*t)=e^(x^3/2) $
Il problema è che wolphramalpha mi dice che il risultato invece è: $ e^(x^3/2)-1 $
Qualcuno sa dirmi se ho sbagliato qualcosa oppure è un errore di calcolo di wolphram?
Ho calcolato il raggio di convergenza e lo trovo infinito, e fin qui ok (non sto a riportarvi tutti i passaggi). Il problema è con la somma. Io ho fatto la sostituzione $ t=x^3 $ e ho ottenuto:
$ sum(t^n*(1/2)^n)/(n!) =sum((1/2*t)^n)/(n!) =e^(1/2*t)=e^(x^3/2) $
Il problema è che wolphramalpha mi dice che il risultato invece è: $ e^(x^3/2)-1 $
Qualcuno sa dirmi se ho sbagliato qualcosa oppure è un errore di calcolo di wolphram?
Risposte
Quale è l'indice da cui parte la sommatoria?
Ciao FinixFighter,
Avrei posto direttamente $t := x^3/2 $, in modo da ritrovare subito una serie ben nota:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = \sum_{n = 0}^{+\infty} t^{n}/(n!) = e^t = e^{x^3/2} $
Poi dato che ovviamente si ha
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = 1 + \sum_{n = 1}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = e^{x^3/2} $
si trova subito
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = e^{x^3/2} - 1 $
Avrei posto direttamente $t := x^3/2 $, in modo da ritrovare subito una serie ben nota:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = \sum_{n = 0}^{+\infty} t^{n}/(n!) = e^t = e^{x^3/2} $
Poi dato che ovviamente si ha
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = 1 + \sum_{n = 1}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = e^{x^3/2} $
si trova subito
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = e^{x^3/2} - 1 $
"Bremen000":
Quale è l'indice da cui parte la sommatoria?
La sommatoria parte da zero
"pilloeffe":
Ciao FinixFighter,
Avrei posto direttamente $ t := x^3/2 $, in modo da ritrovare subito una serie ben nota:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = \sum_{n = 0}^{+\infty} t^{n}/(n!) = e^t = e^{x^3/2} $
Poi dato che ovviamente si ha
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = 1 + \sum_{n = 1}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = e^{x^3/2} $
si trova subito
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x^(3n)/(2^n n!) = e^{x^3/2} - 1 $
Ma per quale motivo devo far partire la sommatoria da 1? E' una regola standard? Perchè sul mio libro non lo dice... In base a cosa capisco se deve partire da 1 o da 0? (o da altro...)
Quella è una serie geometrica, la cui somma è $\frac{1}{1-q}$ (come hai giustamente calcolato tu), dove $q$ è la ragione della serie, se la serie parte da $n=0$; ciò è semplicemente dovuto al fatto che la dimostrazione della somma di tale serie viene fatta partendo da $n=0$.
Perciò, per ricondursi al caso che sappiamo trattare, è necessario aggiungere e togliere il termine necessario (avendo così aggiunto $0$ lasciando tutto invariato) e poi calcolare la somma; quindi rimarrà un termine dovuto a questo aggiustamento.
Credo quindi che la serie debba partire da $n=1$, perché è infatti $1$ il primo termine che spiegherebbe quel $-1$ nella somma: perciò se parte da $0$ o è sbagliata la soluzione o è sbagliato l'indice di partenza del libro.
Perciò, per ricondursi al caso che sappiamo trattare, è necessario aggiungere e togliere il termine necessario (avendo così aggiunto $0$ lasciando tutto invariato) e poi calcolare la somma; quindi rimarrà un termine dovuto a questo aggiustamento.
Credo quindi che la serie debba partire da $n=1$, perché è infatti $1$ il primo termine che spiegherebbe quel $-1$ nella somma: perciò se parte da $0$ o è sbagliata la soluzione o è sbagliato l'indice di partenza del libro.
"Mephlip":
Quella è una serie geometrica, la cui somma è $\frac{1}{1-q}$ (come hai giustamente calcolato tu), dove $q$ è la ragione della serie, se la serie parte da $n=0$; ciò è semplicemente dovuto al fatto che la dimostrazione della somma di tale serie viene fatta partendo da $n=0$.
Perciò, per ricondursi al caso che sappiamo trattare, è necessario aggiungere e togliere il termine necessario (avendo così aggiunto $0$ lasciando tutto invariato) e poi calcolare la somma; quindi rimarrà un termine dovuto a questo aggiustamento.
Credo quindi che la serie debba partire da $n=1$, perché è infatti $1$ il primo termine che spiegherebbe quel $-1$ nella somma: perciò se parte da $0$ o è sbagliata la soluzione o è sbagliato l'indice di partenza del libro.
La serie l'ho presa da un compito passato del mio prof di analisi 1, il risultato con il -1 invece è quello che mi dà wolphram alpha
"Mephlip":
Quella è una serie geometrica, la cui somma è [...]
No, la serie proposta non è una serie geometrica, infatti è del tipo
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} t^{n}/(n!) $
mentre una serie geometrica è del tipo seguente:
$ \sum_{n = 0}^{+\infty} t^{n} $
Ho anche controllato su WolframAlpha, che fornisce gli stessi risultati che ho già scritto nel mio post precedente:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+x%5E(3n)%2F(2%5En+n!),+n+%3D+0+to+%2B%5Cinfty
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+x%5E(3n)%2F(2%5En+n!),+n+%3D+1+to+%2B%5Cinfty
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