Esercizio singolarità isolate-calcolo dei residui

[avati91]

Salve a tutti!
Mi trovo di fronte al seguente esercizio:
"Classificare le singolarità isolate, sulla sfera di Riemann \(\mathbb{C}\cup\{\infty\}\) della funzione
\[f(z)=z\frac {\cos(1/z)-z\sin(1/z)}{\sinh(1/z)}\]
Facoltativo: calcolare i residui corrispondenti."
Purtroppo non ho le idee chiare su come procedere.
Ringrazio anticipatamente chiunque voglia prendersi la briga di rispondermi!

[avati91]

Provo a rispondermi da solo. Spero mi possa correggere qualcuno se sbaglio.
-Dominio di definizione
$ {(z!=0),(\sinh(z)!=0):} $ \(\Rightarrow\) $ A={z!=1/(ikpi),k \in \mathbb{Z}:} $
Quindi si ha che \(f:\mathbb{C}\cap A \to \mathbb{C}\) è olomorfa.

Studio il comportamento di \(f(z)\) sulla frontiera del dominio di olomorfia:

-Comportamento di f intorno a \(z=\infty\)
Cambio di variabile: \(z=1/w\)
Studio \(g(w):=f(1/w)\) in \(w=0\):
\[\lim_{w \to 0}\left |g(w)\right |=1/3\] \(\Rightarrow\) \(f(z)\) ha una singolarità eliminabile in \(z=\infty\)

-Comportamento di f intorno a \(z=0\)
si tratta di una singolarità non isolata, quindi non rientra nella classificazione

-Comportamento di f intorno a \(z=\frac{1}{ik\pi},k\ne 0\)

\[\lim_{z \to \frac{1}{ik\pi}}\left |f(z)\right |=\infty\] \(\Rightarrow\) \(f(z)\) ha una singolarità di tipo polo in \(z=\frac{1}{ik\pi},k\ne 0\).
Si tratta di un polo semplice poiché esso è anche uno zero di molteplicità 1 del denominatore.

[avati91]

Qualcuno mi aiuti per favore!!! Ho l'esame imminente e non riesco a venirne fuori!!!