Esercizio singolarità funzione analisi complessa

[valentina921]

Salve a tutti,
ho un problema con questa funzione:

$f(z)=1/(e^z-1)-1/(z-2\pii)-1/(z+2\pii)$

dove devo determinare le singolarità nel piano complesso.

La prima singolarità è su $z=0$ : ho fatto

$\lim_{z \to 0} 1/(e^z-1)=0$ quindi ho concluso che si tratta di una singolarità eliminabile.

Un'altra singolarità è su $z=2\pii$ : ho fatto di nuovo il limite:

$\lim_{z \to 2\pii} -1/(z-2\pii)$ , analogamente per la singolarità che si trova in $z=-2\pii$ .
Adesso il problema sta nel fatto che questi due limiti mi vengono infinito, e quindi ho concluso che in quei due punti vi fossero due poli semplici, utilizzando anche il fatto che $\lim_{z \to 2\pii} -1/(z-2\pii)(z-2\pii)=-1$ , che, essendo finito, mi dice che l'ordine del polo è 1, però c'è qualcosa di sbagliato, perché invece su $z=+-2\pii$ ci sono due singolarità eliminabili, ma non ho proprio capito perché. Spero che qualcuno mi possa aiutare!

Grazie in anticipo

Valentina

[gugo82]

"valentina92":ho un problema con questa funzione:

$f(z)=1/(e^z-1)-1/(z-2\pii)-1/(z+2\pii)$

dove devo determinare le singolarità nel piano complesso.

La prima singolarità è su $z=0$ : ho fatto

$\lim_{z \to 0} 1/(e^z-1)=0$ quindi ho concluso che si tratta di una singolarità eliminabile.

Quanto vale quel limite per \(z\) reale (cioè per \(z=x\))?

"valentina92":Un'altra singolarità è su $z=2\pii$ : ho fatto di nuovo il limite:

$\lim_{z \to 2\pii} -1/(z-2\pii)$ , analogamente per la singolarità che si trova in $z=-2\pii$ .
Adesso il problema sta nel fatto che questi due limiti mi vengono infinito, e quindi ho concluso che in quei due punti vi fossero due poli semplici, utilizzando anche il fatto che $\lim_{z \to 2\pii} -1/(z-2\pii)(z-2\pii)=-1$ , che, essendo finito, mi dice che l'ordine del polo è 1, però c'è qualcosa di sbagliato, perché invece su $z=+-2\pii$ ci sono due singolarità eliminabili, ma non ho proprio capito perché.

E perché mai dovrebbero esserci singolarità eliminabili?

[valentina921]

"gugo82":
Quanto vale quel limite per \(z\) reale (cioè per \(z=x\))?

Oh mamma , ho sbagliato! Nel caso reale non esiste, perché se lo faccio prima per $x->0^+$ e poi per $x->0^-$ va una volta a $+\infty$ e l'altra a $-\infty$. Nel caso complesso è la stessa cosa vero? Cioè, all'infinito l'esponenziale complesso si comporta diversamente da quello reale perché non va a infinito ma ha una singolarità essenziale, ma in 0 non cambia niente..
Ok, quindi il limite non esiste, e quindi in $z=0$ c'è una singolarità essenziale. Giusto?

"gugo82":
E perché mai dovrebbero esserci singolarità eliminabili?

Nelle soluzioni dell'esercizio (e anche nella spiegazione del professore) c'è scritto che se prendo $z=2\pii n$, con $n=+-1$ , si hanno delle singolarità eliminabili, e per $n=+-1$ si hanno proprio i punti per cui ho fatto i limiti, e mi è venuto che sono poli!

[gugo82]

"valentina92":Salve a tutti,
ho un problema con questa funzione:

$f(z)=1/(e^z-1)-1/(z-2\pii)-1/(z+2\pii)$

dove devo determinare le singolarità nel piano complesso.

Le singolarità si incontrano sicuramente nei punti in cui si annullano i denominatori ed in \(\infty\).

Il denominatore del primo addendo si annulla nei punti \(z_n=2\pi n\ \imath\) con \(n\in \mathbb{Z}\); mentre i denominatori del terzo e del secondo addendo si annullano rispettivamente in \(z_{-1}=-2\pi\ \imath\) e \(z_1=2\pi\ \imath\).

Ogni \(z_n\) è uno zero del primo ordine per la funzione intera \(e^z-1\): infatti si ha \(\frac{\text{d}}{\text{d} z}[e^z-1]\Big|_{z=z_n} =e^{z_n} =1\neq 0\). Conseguentemente, per noti legami tra zeri e poli, i punti \(z_n\) sono tutti poli del primo ordine per la funzione \(\frac{1}{e^z-1}\).
Analogo discorso vale per i punti \(z_{\pm 1}\), che risultano poli del primo ordine, rispettivamente, per il secondo ed il terzo addendo.
Conseguentemente tutti i punti \(z_n\) con \(n\neq \pm 1\) sono poli del primo ordine per la funzione assegnata; mentre i punti \(z_{\pm 1}\) bisogna analizzarli più attentamente, perché qualche fenomeno di cancellazione potrebbe far sì che le singolarità degli addendi in tali punti si "eliminino" a vicenda, facendo venir fuori delle discontinuità eliminabili (infatti, se due funzioni \(g(z),h(z)\) hanno un polo in un medesimo punto \(\zeta\), in generale non è detto che \(\zeta\) sia un polo per \(g(z)\pm h(z)\)).
Per noti fatti di teoria, la funzione \(\frac{1}{e^z-1}\) si può sviluppare in serie di Laurent intorno a \(z_{\pm 1}\): in particolare, si ha certamente:
\[
\begin{split}
\frac{1}{e^z-1} &= \frac{\operatorname{Res}(1/(e^z-1); z_1)}{z-z_1} + \phi_1(z)\\
\frac{1}{e^z-1} &= \frac{\operatorname{Res}(1/(e^z-1); z_{-1})}{z-z_{-1}} + \phi_{-1}(z)
\end{split}
\]
in cui \(\phi_{\pm 1}(z)\) sono funzioni olomorfe intorno a \(z_{\pm 1}\); un semplice calcolo mostra che:
\[
\begin{split}
\operatorname{Res}(1/(e^z-1); z_1) &= \lim_{z\to z_1} (z-z_1)\frac{1}{e^z-1}\\
&= \lim_{z\to 2\pi\ \imath} \frac{z-2\pi\ \imath}{e^z-1}\\
\stackrel{H}{=} \lim_{z\to 2\pi\ \imath} \frac{1}{e^z}\\
&= 1\\
\operatorname{Res}(1/(e^z-1); z_{-1}) &= \lim_{z\to z_{-1}} (z-z_{-1})\frac{1}{e^z-1}\\
&= \lim_{z\to -2\pi\ \imath} \frac{z+2\pi\ \imath}{e^z-1}\\
\stackrel{H}{=} \lim_{z\to -2\pi\ \imath} \frac{1}{e^z}\\
&= 1
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\frac{1}{e^z-1} &= \frac{1}{z-2\pi\ \imath} + \phi_1(z)\\
\frac{1}{e^z-1} &= \frac{1}{z+2\pi\ \imath} + \phi_{-1}(z)\; .
\end{split}
\]
Ne viene che intorno a \(z_1\) si ha:
\[
f(z) = \cancel{\frac{1}{z-2\pi\ \imath}} + \phi_1(z) - \cancel{\frac{1}{z-2\pi\ \imath}} -\frac{1}{z+2\pi\ \imath} = \phi_1(z)-\frac{1}{z+2\pi\ \imath}
\]
con le due funzioni all'ultimo membro regolari in \(z_1\); perciò la singolarità in \(z_1\) è eliminabile.
Analogamente intorno a \(z_{-1}\) si trova:
\[
f(z) = \phi_{-1}(z)-\frac{1}{z-2\pi\ \imath}
\]
quindi anche la singolarità in \(z_{-1}\) è eliminabile.

Infine, la singolarità in \(\infty\) non è classificabile, perché essa non è isolata (infatti si ha \(\lim_{n\to \pm \infty} z_n=\infty\)).

Ricapitolando: i punti \(z_n=2n\pi\ \imath\) con \(n\in \mathbb{Z}\) ed \(n\neq \pm 1\) sono poli del primo ordine per \(f\); i punti \(z_{\pm 1} = \pm 2\pi\ \imath\) sono singolarità eliminabili per \(f\); \(\infty\) è una singolarità non classificabile.

[valentina921]

Adesso ho capito! Mi ero fossilizzata sul caso reale, e vedendo $1/(e^z-1)$ ho pensato che l'unica singolarità c'era per z=0, invece no perché siamo sul piano complesso quindi devo considerare tutti i valori dell'argomento per cui il denominatore si annulla. Adesso mi torna tutto. Grazie mille!